عموميات حول الدوال

ℝ

بدالة عددية | رتابة مركب دالتين | بعض الدوال الاعتيادية|

تقديم

لقد تم التطرق في الجذع المشترك العلمي والجذع المشترك التكنولوجي إلى جل المفاهيم المتعلقة بالعموميات حول الدوال، لذا ينبغي مراجعتها من خلال أنشطة متنوعة والسمو بها على مستوى التطبيقات. كما ينبغي التركيز على تأويل النتائج مبيانيا وعلى استعمال منحنى دالة في حل وتحديد عدد حلول المعادلات أو المتراجحات. وبهذا الصدد ينبغي أن يكون التلميذ متمكنا من رسم منحنى دالة حدودية من الدرجة الثانية أو دالة متخاطة وأن يستحضر أهم خاصياتيهما. علما أن برنامج هذه السنة يزاوج بين الدراسات الكيفية (التغيرات – الرسوم ...) وبين الدراسات الكمية (الإكبارات – القيم القصوى – التقريبات...).

البداية

الدالة المكبورة الدالة المصغورة الدالة المحدودة__ الدالة الدورية

نشاط :

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $ℝ$ بما يلي: $f (x) = - x^{2} + 2 x$ . اثبت أن $f (x) ≺ 2$ لكل $x$ من $ℝ$ .
لتكن $f$ الدالة المعرفة على $ℝ^{*}$ بما يلي: $f (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ اثبت أن $f (x) ≻ 1$ لكل $x$ من $ℝ^{*}$ .
لتكن $f$ الدالة المعرفة على $ℝ$ بما يلي: $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} + 1$ . اثبت أن $| f (x) | \leq 2$ لكل $x$ من $ℝ$ .
نضع f:x↦cos⁡x :
- حدد حيز تعريف الدالة $f$
- ليكن $x$ عددا حقيقيا . هل $x + 2 π$ و $x - 2 π$ أعداد حقيقية؟
- بسط $\cos (x + 2 π)$ لكل $x$ من $D_{f}$

عناصر الإجابة

لكل $x$ من $ℝ$ :

$= - x^{2} + 2 x - 2$ $f (x) - 2$

$= - {(x - 1)}^{2} - 1 ≺ 0$

أي الدالة $f$ مكبورة بالعدد $2$ على $ℝ$ .
لكل $x$ من $ℝ^{*}$ :

$= 1 + \frac{1}{x^{2}} - 1$ $f (x) - 1$

$= \frac{1}{x^{2}} ≻ 0$

أي الدالة $f$ مصغورة بالعدد $1$ على $ℝ^{*}$
لكل $x$ من $ℝ$ : $1 \leq x^{2} + 1$ أي $0 ≺ \frac{1}{x^{2} + 1} \leq 1$ و منه فإن $1 ≺ \frac{1}{x^{2} + 1} + 1 \leq 2$ مما يقودنا الى $| f (x) | \leq 2$
أي الدالة $f$ محدودة على $ℝ$ بالعددين $2$ و $1$ .
- $D_{f} = ℝ$
- $x + 2 π \in ℝ$ و $x - 2 π \in ℝ$
- لكل $x$ من $ℝ$ : $\cos (x + 2 π) = \cos x$

تعاريف

لتكن

f

دالة عددية لمتغير حقيقي معرفة على مجموعة

E

، نقول إن :

$f$ مكبورة على $E$ إذا وجد عدد حقيقي $M$ بحيث $f (x) \leq M$ لكل $x$ من $E$ .
$f$ مصغورة على $E$ إذا وجد عدد حقيقي $m$ بحيث $f (x) \geq m$ لكل $x$ من $E$ .
$f$ محدودة على $E$ إذا كانت مكبورة و مصغورة على $E$
$f$ دورية على $E$ إذا وجد عدد حقيقي $T$ موجب قطعا بحيث لكل $x$ من $E$ $f (x + T) = f (x), x - T \in E, x + T \in E$

ملاحظة:

f

دالة عددية لمتغير حقيقي. إذا كانت الدالة

x \mapsto | f (x) |

مكبورة على جزء

E

من

ℝ

فإن الدالة

f

محدودة على

E

البداية

الدالة الموجبة_الدالة السالبة_مقارنة دالتين

نشاط :
نعتبر الدالة العددية

f

للمتغير الحقيقي

x

بحيث

f (x) = - x^{2} + 2 x + 2

ادرس اشارة الدالة $f$ .
انشئ منحنى الدالة $f$ في معلم متعامد ممنظم $(o, \vec{i}, \vec{j})$ .
نعتبر الدالة العددية $g$ للمتغير الحقيقي $x$ بحيث $g (x) = x^{2} - 2 x$ . قارن $f (x)$ و $g (x)$ لكل $x$ من $ℝ$ .
انشئ منحنى الدالة $g$ في نفس المعلم $(o, \vec{i}, \vec{j})$ .

عناصر الإجابة

لدينا : $Δ = b^{2} - 4 a c = 12 ≻ 0$ أي للثلاثية $f (x)$ جذرين مختلفين هما ... $x_{2} = 1 + \sqrt{3}; x_{1} = 1 - \sqrt{3}$ .
نلخص إشارة الدالة $f$ في الجدول إسفله:
لكل $x$ من $ℝ$ : $g (x) - f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$
للثلاثية $2 x^{2} - 4 x - 2$ جذرين مختلفين هما : $x_{2} = 1 + \sqrt{2}; x_{1} = 1 - \sqrt{2}$
نلخص المقارنة في الجدول أسفله:

تعاريف

لتكن

f

g

دالتين عدديتين معرفتين على جزء

E

من

ℝ

. نقول إن :

$f$ دالة موجبة على $E$ اذا كان $f (x) \geq 0$ لكل $x$ من $E$ ونكتب $f \geq 0$ على $E$
$f$ دالة سالبة على $E$ اذا كان $f (x) \leq 0$ لكل $x$ من $E$ ونكتب $f \leq 0$ على $E$
$f$ اصغر من أو تساوي $g$ على $E$ اذا كان $f (x) \leq g (x)$ لكل $x$ من $E$ ونكتب $f \leq g$ على $E$

البداية

مطاريف دالة

نشاط:

نعتبر الدالة العددية $f$ المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $f (x) = x^{2} + 2 x$ . حدد إشارة $(x \in ℝ) f (x) - f (- 1)$
نعتبر الدالة العددية $g$ المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $g (x) = - x^{2} + 6 x$ . حدد إشارة $(x \in ℝ) g (x) - g (3)$
نعتبر الدالة العددية $h$ المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $h (x) = 2 | x - 4 | - 4 | x | + 2 (x - 1)$ . ارسم منحنى الدالة $h$ في معلم متعامد ممنظم $(o, \vec{i}, \vec{j})$ و تأكد مبيانيا أن $h (x) \leq 6$ لكل $x$ من المجال $[- 1; 2]$
نعتبر الدالة العددية $l$ المعرفة بما يلي : $l (x) = x + \frac{1}{x}$ . بين أن $l (x) \geq 2$ لكل $x$ من المجال $] 0, + \infty [$ .

عناصر الإجابة

لكل $x$ من $ℝ$ :

$= x^{2} + 2 x + 1$ $f (x) - f (- 1)$

$= {(x + 1)}^{2} \geq 0$

أي لكل $x$ من $ℝ$ : $f (x) \geq f (- 1)$
$f (- 1)$ يسمى القيمة الدنيا المطلقة للدالة $f$ عند النقطة التي أفصولها $- 1$
لكل $x$ من $ℝ$ :

$= - x^{2} + 6 x - 9$ $g (x) - g (3)$

$= - {(x - 3)}^{2} \leq 0$

أي لكل $x$ من $ℝ$ : $g (x) \leq g (3)$
$g (3)$ يسمى القيمة القصوى المطلقة للدالة $g$ عند النقطة التي أفصولها $3$
الدالة $h$ دالة تالفية بمجالات.

لكل

x

من

] 0; + \infty [

$= x + \frac{1}{x} - 2$	$l (x) - 2$
$= \frac{x^{2} + 1 - 2 x}{x}$
$= \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} \geq 0$

أي لكل

x

من

] 0; + \infty [

l (x) \geq 2

2

يسمى قيمة دنيا نسبية للدالة

l

عند النقطة

1

تعاريف

لتكن

f

دالة عددية لمتغير حقيقي و

D_{f}

حيز تعريفها و

x_{°}

عنصرا من

D_{f}

نقول إن العدد $f (x_{°})$ هو القيمة الدنيا المطلقة للدالة $f$ عند النقطة $x_{°}$ إذا كان $f (x_{°}) \leq f (x)$ لكل $x$ من $D_{f}$ و نكتب $f (x_{0}) = \underset{x \in D_{f}}{M i n} f (x)$
نقول إن العدد $f (x_{°})$ هو القيمة القصوى المطلقة للدالة $f$ عند النقطة $x_{°}$ إذا كان $f (x_{°}) \geq f (x)$ لكل $x$ من $D_{f}$ و نكتب $f (x_{0}) = \underset{x \in D_{f}}{M a x} f (x)$
إذا وجد مجال مفتوح $I$ مركزه $x_{°}$ بحيث $f (x) \leq f (x_{°})$ لكل $x$ من $I$ نقول إن $f (x_{°})$ قيمة قصوى نسبية للدالة $f$ عند النثطة $x_{°}$
إذا وجد مجال مفتوح $I$ مركزه $x_{°}$ بحيث $f (x) \geq f (x_{°})$ لكل $x$ من $I$ نقول إن $f (x_{°})$ قيمة دنيا نسبية للدالة $f$ عند النثطة $x_{°}$

البداية

رتابة دالة عددية

نشاط :
بين أن :

الدالة $f : x \mapsto x^{2} - 2 x + 3$ تزايدية قطعا على المجال $[1; + \infty [$ .
الدالة $g : x \mapsto \frac{x + 1}{x - 1}$ تناقصية قطعا على المجال $] - \infty; 1 [$ .

تذكير 1 :

نعتبر الدالة العددية

f

للمتغير الحقيقي

x

المعرفة بما يلي :

(a \neq 0) [(a, b, c) \in ℝ^{3}] f (x) = a x^{2} + b x + c

$a ≻ 0$
- $f$ تزايدية قطعا على المجال $[- \frac{b}{2 a}, + \infty [$
- $f$ تناقصية قطعا على المجال $[- \infty; - \frac{b}{2 a} [$
$a ≺ 0$
- $f$ تناقصية قطعا على المجال $[- \frac{b}{2 a}, + \infty [$
- $f$ تزايدية قطعا على المجال $[- \infty; - \frac{b}{2 a} [$

تذكير 2

لدراسة تغيرات دالة متخاطة

(c \neq 0) ((a, b) \neq (0,0)) f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}

نحسب المحددة

Δ = | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |

الدالة تزايدية قطعا على كل من الجالين $] - \infty, - \frac{d}{c} [;] - \frac{d}{c}, + \infty [$ في حالة $Δ ≻ 0$ .
الدالة تناقصية قطعا على كل من المجالين $] - \infty, - \frac{d}{c} [;] - \frac{d}{c}, + \infty [$ في حالة $Δ ≺ 0$

عناصر الأجوبة
استعمل التذكير للإجابة عن النشاط.

تعاريف

f

دالة عددية لمتغير حقيقي

x

D_{f}

مجموعة تعريفها .

نقول إن $f$ تزايدية ( تزايدية قطعا) على مجال $I$ ضمن $D_{f}$ إدا وفقط إدا كان : لكل عنصرين $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ إدا كان $x_{1} ≺ x_{2}$ فإن $(f (x_{1}) ≺ f (x_{2})) f (x_{1}) \leq f (x_{2})$
نقول إن $f$ تناقصية ( تناقصية قطعا) $I$ ضمن $D_{f}$ إدا وفقط إدا كان : لكل عنصرين $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ إدا كان $x_{1} ≺ x_{2}$ فإن $(f (x_{1}) ≻ f (x_{2})) f (x_{1}) \geq f (x_{2})$

خاصية :

f

دالة عددية لمتغير حقيقي

x

D_{f}

مجموعة تعريفها .

تكون $f$ تزايدية ( تزايدية قطعا) على مجال $I$ ضمن $D_{f}$ إدا وفقط إدا كان : لكل عنصرين $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ مختلفين $(\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} ≻ 0) \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \geq 0$
تكون $f$ تناقصية ( تناقصية قطعا) على مجال $I$ ضمن $D_{f}$ إدا وفقط إدا كان : لكل عنصرين $x_{1}$ و $x_{2}$ من $I$ مختلفين $(\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} ≺ 0) \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \leq 0$

البداية

مركب دالتين

تعريف

نعتبر دالتين عدديتين

f

g

لمتغير حقيقي

x

.
لتكن

D_{f}

مجموعة تعريف

f

D_{g}

مجموعة تعريف

g

. مركب

f

g

في هذا الترتيب هي الدالة

g ο f

المعرفة بما يلي : لكل

x

من

D_{g ο f}

لدينا

g ο f (x) = g (f (x))

حيث

f (x) \in D_{g}}

D_{g o f} = {x \in ℝ / x \in D_{f}

تمرين تطبيقي :

نعتبر الدالتين العدديتين

f

g

للمتغير الحقيقي

x

المعرفتين يما يلي :

f (x) = x - 1

g (x) = \frac{1}{x - 2}

حدد مجموعة تعريف كل من الدالتين $f ο g$ و $g ο f$
حدد صيغة $f ο g (x)$ لكل $x$ من $D_{f ο g}$
حدد صيغة $g ο f (x)$ لكل $x$ من $D_{g ο f}$

عناصر الإجابة

نعلم أن

D_{f} = ℝ

D_{g} = ℝ - {2}

$g (x) \in D_{f}}$ و $= {x \in ℝ / x \in D_{g}$	$D_{f ο g}$
$\frac{1}{x - 2} \in ℝ}$ و $= {x \in ℝ / x \neq 2$
$x \neq 2}$ و $= {x \in ℝ / x \neq 2$
$= ℝ - {2}$

$f (x) \in D_{g}}$ و $= {x \in ℝ / x \in D_{f}$	$D_{g ο f}$
$x - 1 \neq 2}$ و $= {x \in ℝ / x \in ℝ$
$x \neq 3}$ و $= {x \in ℝ / x \in ℝ$
$= ℝ - {3}$

لكل

x

من

D_{f ο g}

لدينا :

$= f (g (x))$	$f ο g (x)$
$= f (\frac{1}{x - 2})$
$= \frac{1}{x - 2} - 1$
$= \frac{1 - x + 2}{x}$
$= \frac{3 - x}{x - 2}$

لكل $x$ من $D_{g ο f}$ لدينا :

$= g (f (x))$ $g ο f (x)$

$= g (x - 1)$

$= \frac{1}{(x - 1) - 2}$

$= \frac{1}{x - 3}$

البداية

صورة جزء من $ℝ$ بدالة عددية

نشاط
نعتبر الدالة العددية

f

للمتغير الحقيقي

x

المعرفة بما يلي :

f (x) = 3 x + 1

انشئ منحنى الدالة $f$ في معلم متعامد ممنظم $(o, \vec{i}, \vec{j})$
حدد مبيانيا $f ([- 1; 1]) = {f (x) / x \in [- 1; 1]}$

عناصر الإجابة

تعريف

لتكن

f

دالة عددية معرفة على جزء

E

من

ℝ

.
المجموعة

f (E) = {f (x) / x \in E}

تسمى صورة الجزء

E

بالدالة

f

تمرين تطبيقي

نعتبر الدالة $f$ العددية للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة بما يلي : $f (x) = x^{2}$ . حدد $f ([- 1; 1])$ .
نعتبر الدالة $f$ العددية للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة بما يلي : $f : x \mapsto (\frac{x + 1}{x - 2})$ حدد $f ([0; 1])$ .

عناصر الإجابة

نتبث أن $f ([- 1; 1]) \subseteq [0; 1]$
ليكن $x$ عنصرا من $[- 1; 1]$ أي $| x | \leq 1$ و هذا يقودنا الى أن $0 \leq x^{2} \leq 1$ أي $f (x) \in [0; 1]$
نتبث أن $[0; 1] \subseteq f ([- 1; 1])$
ليكن $y$ عنصرا من $[0; 1]$ هل يوجد عدد حقيقي $x$ حيث $- 1 \leq x \leq 1$ و $(x^{2} = y) f (x) = y$ ؟ بطبيعة الحال نعم . يكفي اختيار $x = \sqrt{y}$ أو $x = - \sqrt{y}$

البداية

رتابة مركب دالتين

لتكن

f

g

دالتين عدديتين معرفتين على مجالين

I

J

على التوالي حيث

f (I) \subset J

إذا كانت ( $f$ تزايدية على $I$ و $g$ تزايدية على $J$ ) أو ( $f$ تناقصية على $I$ و $g$ تناقصية على $J$ ) فإن $g ο f$ تزايدية على $I$ .
إذا كانت ( $f$ تزايدية على $I$ و $g$ تناقصية على $J$ ) أو ( $f$ تناقصية على $I$ و $g$ تزايدية على $J$ ) فإن $g ο f$ تناقصية على $I$ .

تمرين تطبيقي

لتكن

f

g

الدالتين المعرفتين بما يلي :

f (x) = 3 x - 1

g (x) = x^{2} + 1

ادرس تغيرات الدالتين $f$ و $g$ .
استنتج تغيرات $g ο f$

عناصر الإجابة

- $D_{f} = ℝ$ و $D_{g} = ℝ$
-الدالة $f$ تزايدية قطعا على $ℝ$
-الدالة $g$ تزايدية قطعا على $ℝ_{+}$ و تناقصية قطعا على $ℝ_{-}$

لاحظ أن $f ([\frac{1}{3}; + \infty [) \subset [0; + \infty [$ و $f (] - \infty; \frac{1}{3}]) \subset] - \infty; 0]$
- بما أن $f$ تزايدية قطعا على $[\frac{1}{3}; + \infty [$ و $g$ تزايدية قطعا على $[0; + \infty [$ فإن $g ο f$ تزايدية قطعا على $[\frac{1}{3}; + \infty [$
- بما أن $f$ تزايدية قطعا على $] - \infty, \frac{1}{3}]$ و $g$ تناقصية قطعا على $] - \infty,0]$ فإن $g ο f$ تناقصية قطعا على $] - \infty; \frac{1}{3}]$

البداية

بعض الدوال الاعتيادية

نشاط
لتكن

f

الدالة المعرفة على

ℝ_{+}

بما يلي :

f (x) = \sqrt{x}

، و

g

الدالة المعرفة على

ℝ

بما يلي :

(a \in ℝ^{*}) g (x) = a x^{3}

ادرس تغيرات الدالتين $f$ و $g$ على $ℝ_{+}$
ادرس زوجية $g$ ثم استنتج رتابتها على $ℝ_{-}$
ضع جدول التغيرات لكل من $f$ و $g$
استعن بصور بعض القيم بالدالتين $f$ و $g$ لانشاء منحنيات هذه الدوال في معلم متعامد ممنظم.

عناصر الإجابة

ليكن

x

y

عنصرين من

ℝ_{+}

مختلفين:

$= \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}$	$\frac{f (x) - f (y)}{x - y}$
$= \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(x - y) (\sqrt{x} + \sqrt{y})}$
$= \frac{x - y}{(x - y) (\sqrt{x} + \sqrt{y})}$
$= \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} ≻ 0$

إذن

f

تزايدية قطعا على

ℝ_{+}

$= - x^{2} + 2 x - 2$	$f (x) - 2$
$= - {(x - 1)}^{2} - 1 ≺ 0$

$= 1 + \frac{1}{x^{2}} - 1$	$f (x) - 1$
$= \frac{1}{x^{2}} ≻ 0$

$= x^{2} + 2 x + 1$	$f (x) - f (- 1)$
$= {(x + 1)}^{2} \geq 0$

$= - x^{2} + 6 x - 9$	$g (x) - g (3)$
$= - {(x - 3)}^{2} \leq 0$

$= g (f (x))$	$g ο f (x)$
$= g (x - 1)$
$= \frac{1}{(x - 1) - 2}$
$= \frac{1}{x - 3}$

عموميات حول الدوال

تقديم

الدالة المكبورة __ الدالة المصغورة __ الدالة المحدودة__ الدالة الدورية

الدالة الموجبة_الدالة السالبة_مقارنة دالتين

مطاريف دالة

رتابة دالة عددية

مركب دالتين

صورة جزء من ℝ بدالة عددية

رتابة مركب دالتين

بعض الدوال الاعتيادية

الدالة المكبورة الدالة المصغورة الدالة المحدودة__ الدالة الدورية

صورة جزء من $ℝ$ بدالة عددية