المتتاليات

تمرين 1

نعتبر المتتالية الحسابية ( u n ) حيث حدها الأول u 0 =1 و أساسها r=4
- احسب $u_{3}, u_{2}, u_{1}$
- اعط الحد العام $u_{n}$ ثم احسب $u_{19}$
نعتبر المتتالية الهندسية ( v n ) حيث حدها الأول v 0 =2 و أساسها q=3
- احسب $v_{3}, v_{2}, v_{1}$
- اكتب $v_{n}$ بدلالة $n$ ثم احسب $v_{10}$
- احسب مجموع $S = v_{0} + v_{1} + ... + v_{9}$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 2

نعتبر المتتالية

{(u_{n})}_{n \in ℕ}

حيث

u_{n} = 2 - \frac{3}{n^{2} + 1}

. ادرس رتابة المتتالية

{(u_{n})}_{n \in ℕ}

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 3

نعتبر المتتالية الهندسية

{(u_{n})}_{n \in ℕ}

حيث حدها الأول

u_{0} = 8

و أساسها

q = \frac{1}{2}

احسب الحدود $u_{20}, u_{2}, u_{1}$
اثبت أن المجموع $S = u_{0} + u_{1} + ... u_{20}$ يساوي $\frac{2^{21} - 1}{2^{17}}$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 4

نعتبر المتتالية

(u_{n})

المعرفة ب

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \frac{2 u_{n}}{2 + 3 u_{n}}

احسب الحدود $u_{2}, u_{1}$
هل المتتالية $(u_{n})$ حسابية؟هندسية؟
نقبل أنه لكل n من ℕ لدينا u n ≠0 . نضع v n =1+ 2 u n
- احسب $v_{2}, v_{1}, v_{0}$
- احسب $v_{n + 1}$ بدلالة $v_{n}$ . استنتج أن المتتالية $(v_{n})$ حسابية .
- عبر عن $v_{n}$ بدلالة $n$ ، ثم استنتج $u_{n}$ بدلالة $n$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 5

نعتبر المتتاليتين

(u_{n})

(v_{n})

المعرفتين لكل

n

من

ℕ

يما يلي:

u_{n} = \frac{3 \times 2^{n} - 4 n + 3}{2}

v_{n} = \frac{3 \times 2^{n} + 4 n - 3}{2}

لتكن $(w_{n})$ المتتالية المعرفة ب : $w_{n} = u_{n} + v_{n}$ . أثبت أن $(w_{n})$ متتالية هندسية.
لتكن $(t_{n})$ المتتالية المعرفة ب : $t_{n} = u_{n} - v_{n}$ . أثبت أن $(t_{n})$ متتالية حسابية .
عبر عن المجموع التالي بدلالة $n$ $S_{n} = u_{0} + u_{1} + ... + u_{n}$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 6

نعتبر المتتالية

(u_{n})

المعرفة ب :

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 1}

لكل

n

من

ℕ

اثبت أن هذه المتتالية مصغورة بالعدد $1$
اثبت أن هذه المتتالية مكبورة بالعدد $2$
ماذا تستنتج؟
نضع $f : x \mapsto \sqrt{x + 1}$ . باستعمال رتابة الدالة $f$ استنتج رتابة المتتالية $(u_{n})$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 7

أثبت أن:
لكل

n

من

ℕ

لدينا :

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = {(1 + 2 + 3 + ... + n)}^{2}

البداية

تمرين 8

نعتبر المتتالية ( v n ) المعرفة ب : { v 0 =1 v n+1 = v n +2( n+1 ) ( ∀n∈ℕ )
- احسب $v_{3}, v_{2}, v_{1}$ و $v_{4}$
- أثبت أن : $v_{n} = n^{2} + n + 1$ لكل $n$ من $ℕ$
تمعن في ما يلي :
$\sqrt{1} = 1; \sqrt{3 + \sqrt{1}} = 2; \sqrt{7 + \sqrt{3 + \sqrt{1}}} = 3; \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{3 + \sqrt{1}}}} = 4......$
نعتبر المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بما ب : ${\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \sqrt{v_{n} + \sqrt{u_{n}}} \end{cases} (\forall n \in ℕ)$
أثبت بالترجع أن $u_{n} = n$ لكل $n$ من $ℕ$

البداية

عناصر الإجابة

التمرين 1

$(u_{n})$ متتالية حسابية أحد حدودها $u_{p}$ و أساسها $r$
$u_{n} = u_{p} + (n - p) r$
- $\begin{array}{l} u_{1} = u_{0} + 4 = 5 \\ u_{2} = u_{0} + 8 = 9 \\ u_{3} = u_{0} + 12 = 13 \end{array}$
- $\begin{array}{l} u_{n} = u_{0} + n r = 1 + 4 n \\ u_{19} = 1 + 76 = 77 \end{array}$

(v_{n})

متتالية هندسية احد حدودها

v_{p}

و اساسها

q

v_{n} = v_{p} \times q^{n - p}

$\begin{array}{l} v_{1} = v_{0} \times q = 2 \times 3 = 6 \\ v_{2} = v_{0} \times q^{2} = 2 \times 3^{2} = 18 \\ v_{3} = v_{0} \times q^{3} = 2 \times 3^{3} = 54 \end{array}$
$\begin{array}{l} v_{n} = v_{0} \times q^{n} = 2 \times 3^{n} \\ v_{10} = v_{0} \times q^{10} = 2 \times 3^{10} \end{array}$

(v_{n})

متتالية هندسية أساسها

(q \neq 1) q

v_{p} + v_{p + 1} + ... + v_{n} = v_{p} \times \frac{1 - q^{n - p + 1}}{1 - q}

$= v_{0} + v_{1} + ... + v_{9}$	$S$
$= v_{0} \times \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3}$
$= 2 \times \frac{1 - 3^{10}}{- 2}$
$= 3^{10} - 1$

البداية

التمرين

التمرين 2
لكل

n

من

ℕ

$= (2 - \frac{3}{{(n + 1)}^{2} + 1}) - (2 - \frac{3}{n^{2} + 1})$	$u_{n + 1} - u_{n}$
$= \frac{3}{n^{2} + 1} - \frac{3}{{(n + 1)}^{2} + 1}$

لكل

n

من

ℕ

لدينا

n + 1 ≻ n

أي

{(n + 1)}^{2} ≻ n^{2}

و منه فإن

\frac{3}{{(n + 1)}^{2} + 1} ≺ \frac{3}{n^{2} + 1}

إذن

(u_{n})

تزايدية قطعا.

البداية

التمرين

التمرين 3

$= u_{0} \times q$	$u_{1}$
$= 8 \times \frac{1}{2}$
$= 4$

$= u_{0} \times q^{2}$	$u_{2}$
$= 8 \times \frac{1}{4}$
$= 2$

$= u_{0} \times q^{20}$	$u_{20}$
$= 8 \times {(\frac{1}{2})}^{20}$
$= {(\frac{1}{2})}^{17}$

$= u_{0} + u_{1} + ... + u_{20}$	$S$
$= u_{0} \times (\frac{1 - q^{21}}{1 - q})$
$= 2^{3} \times (\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{21}}{\frac{1}{2}})$
$= 2^{4} \times (\frac{2^{21} - 1}{2^{21}})$
$= \frac{2^{21} - 1}{2^{17}}$

البداية

التمرين

التمرين 4

$= \frac{2 u_{0}}{2 + 3 u_{0}}$	$u_{1}$
$= \frac{2 \times 1}{2 + 3 \times 1}$
$= \frac{2}{5}$

$= \frac{2 u_{1}}{2 + 3 u_{1}}$	$u_{2}$
$= \frac{2 \times \frac{2}{5}}{2 + 3 \times \frac{2}{5}}$
$= \frac{4}{16}$
$= \frac{1}{4}$

بما أن $u_{0} + u_{2} \neq 2 u_{1}$ و $u_{0} \times u_{2} \neq {(u_{1})}^{2}$ فإن المتتالية $(u_{n})$ لا حسابية و لا هندسية.

$= 1 + \frac{2}{u_{0}}$	$v_{0}$
$= 1 + 2$
$= 3$

$= 1 + \frac{2}{u_{1}}$	$v_{1}$
$= 1 + 2 \times \frac{5}{2}$
$= 1 + 5$
$= 6$

$= 1 + \frac{2}{u_{2}}$	$v_{2}$
$= 1 + 2 \times 4$
$= 9$

لكل

n

من

ℕ

لدينا :

$= 1 + \frac{2}{u_{n + 1}}$	$v_{n + 1}$
$= 1 + 2 \frac{(2 + 3 u_{n})}{2 u_{n}}$
$= \frac{4 u_{n} + 2}{u_{n}}$
$= 4 + \frac{2}{u_{n}}$
$= 3 + (1 + \frac{2}{u_{n}})$
$= 3 + v_{n}$

أي لكل

n

من

ℕ

لدينا

v_{n + 1} - v_{n} = 3

إذن

(v_{n})

متتالية حسابية أساسها

3

حسب السؤال السابق لكل $n$ من $ℕ$ لدينا $v_{n} = v_{0} + 3 n = 3 + 3 n$ و بما أن $v_{n} = 1 + \frac{2}{u_{n}}$ فإن $u_{n} = \frac{2}{2 + 3 n}$

البداية

التمرين

التمرين 5

لكل

n

من

ℕ

لدينا :

$= u_{n} + v_{n}$	$w_{n}$
$= \frac{3 \times 2^{n} - 4 n + 3}{2} + \frac{3 \times 2^{n} + 4 n - 3}{2}$
$= 3 \times 2^{n}$

وبما أن

$= 3 \times 2^{n + 1}$	$w_{n + 1}$
$= 2 (3 \times 2^{n})$
$= 2 w_{n}$

فإن

(w_{n})

متتالية هندسية أساسها

2

لكل

n

من

ℕ

لدينا :

$= u_{n} - v_{n}$	$t_{n}$
$= \frac{3 \times 2^{n} - 4 n + 3}{2} - \frac{3 \times 2^{n} + 4 n - 3}{2}$
$= 3 - 4 n$

و بما أن

$= [3 - 4 (n + 1)] - [3 - 4 n]$	$t_{n + 1} - t_{n}$
$= 3 - 4 n - 4 - 3 + 4 n$
$= - 4$

فإن

(t_{n})

متتالية حسابية أساسها

- 4

لاحظ أن : لكل

n

من

ℕ

لدينا

u_{n} = \frac{w_{n} + t_{n}}{2}

و عليه فإن :

$= u_{0} + u_{1} + ... + u_{n}$	$S_{n}$
$= \frac{1}{2} [(w_{0} + t_{0}) + (w_{1} + t_{1}) + ... + (w_{n} + t_{n})]$
$= \frac{1}{2} [(w_{0} + w_{1} + ... + w_{n}) + (t_{0} + t_{1} + ... + t_{n})]$
$= \frac{1}{2} [w_{0} (\frac{1 - 2^{n + 1}}{1 - 2}) + \frac{(t_{0} + t_{n})}{2} (n + 1)]$
$= \frac{1}{2} [- 3 (1 - 2^{n + 1}) + (\frac{t_{0} + t_{0} - 4 n}{2}) (n + 1)]$
$= \frac{1}{2} [- 3 + 3 \times 2^{n + 1} + (3 - 2 n) (n + 1)]$
$= 3 \times 2^{n} - n^{2} + \frac{n}{2}$

البداية

التمرين

التمرين 6

الاستدلال بالترجع
من أجل $n = 0$ لدينا $u_{0} = 1$ أي $1 \leq u_{0}$ . نفترض أن الخاصية صحيحة حتى الرتبة $n$ و نثبت أن $1 \leq u_{n + 1}$ .
بما أن $1 \leq u_{n}$ أي $2 \leq u_{n} + 1$ فإن $1 \leq \sqrt{2} \leq \sqrt{u_{n} + 1}$ أي $1 \leq u_{n + 1}$
بنفس تقنية السؤال السابق نثبت أن $(u_{n})$ مكبورة بالعدد $2$