مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

النهايات و الاتصال

تذكير

سوف نذكر ببعض المفاهيم .

fدالة عددية لمتغير حقيقي.

1. كتابة

الكتابة $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$تعود الى$\underset{h\to 0}{\lim }f(x_0+h)=l$
2. نهايات مثلثية هامة

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
3. الاتصال


• fدالة معرفة على مجال مفتوح مركزهa
  تكونfمتصلة فيaاذا و فقط اذا كان$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$
• fدالة معرفة على المجال$\left[a,b\right]$
  
  1. تكونfمتصلة على$\left]a,b\right[$ اذا و فقط اذا كانت متصلة في كل نقطة من$\left]a,b\right[$.
  2. تكونfمتصلة على$\left[a,b\right]$اذا و فقط اذا كانت متصلة على$\left]a,b\right[$ ومتصلة على اليمين فيaو على اليسار فيb.
• اتصال بعض الدوال
  
  1. دالة حدودية متصلة على IR
  2. دالة جذرية متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها
  3. $x\mapsto \cos x$متصلة على IR
  4. $x\mapsto \sin x$متصلة على IR
  5. $x\mapsto \tan x$متصلة على كل مجال من$ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi /k\in \mathbb{Z}\right\}$
4. التمديدبالاتصال

fدالةغير معرفة في a
اذا كانت$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$منتهية فانfقابلة للتمديد بالاتصال فيaوتمديدها هو الدالةgالمعرفة بما يلي:$\{\begin{array}{l}g(x)=f(x);(x\ne a)\\ g(a)=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\end{array}$
5. النهايات و الترتيب
   aعدد حقيقي او$\left(l\in ℝ\right),+\infty ,-\infty ,$
   1. fوgدالتان معرفتان على مجالIمن IR.
      اذا كان لكلxمنIلدينا$\left(f(x)\le g(x)\right)f(x)\ge g(x)$ و$\left(\underset{x\to a}{\lim }g(x)=-\infty \right)\underset{x\to a}{\lim }g(x)=+\infty$ فان$\left(\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\infty \right)\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty$
   2. fوuوvثلاث دوال معرفة على مجالI
      اذا كان لكلxمنIلدينا$u(x)\le f(x)\le v(x)$و$\underset{x\to a}{\lim }u(x)=\underset{x\to a}{\lim }v(x)=l$فان$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$
   3. تمرين تطبيقي نعتبر الدالة$f:x\mapsto \sqrt{4x^2+1}-x$
      1. اثبت ان$\sqrt{4x^2+1}\ge 2x$لكلxمن${ℝ}^{+}$ ثم استنتج ان$f(x)\ge x$لكلxمن${ℝ}^{+}$
      2. استنتج$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$

ما رأيك الان في بعض التمارين لترسيخ هذه المعلومات

للتذكير
1. احسب$\underset{x\to 0}{\lim }\sin x\sqrt{\frac{\tan x}{x^3}}$

ارشاد : $\underset{0}{\sim }:\sin x\sqrt{\frac{\tan x}{x^3}}=\frac{\sin x}{\left|x\right|}\sqrt{\frac{\tan x}{x}}$

2. احسب$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2}}{x-1}$

ارشاد: استعمل المرافق

3. نعتبر الدالةfالمعرفة بما يلي$\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{x+1}{x^3-1}\left(\forall x\in \left]-\infty ,\frac{1}{2}\right]\right)\\ f(x)=\frac{1}{2}x+b\left(\forall x\rangle \frac{1}{2}\right)\left(b\in ℝ\right)\end{array}$
   حدد قيمةbكي تكونfمتصلة في$\frac{1}{2}$

ارشاد:حل المعادلة$\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)$

4. اعط تمديدا بالاتصال في 1 للدالة$f:x\mapsto \frac{2x^5-5x+3}{x-1}$
   اعط تمديدا بالاتصال في$\frac{\pi }{2}$للدالة$f:x\mapsto \frac{1-\sin x}{{\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}^2}$

ارشاد:$\begin{array}{l}*2x^5-5x+3=(x-1)(2x^4+2x^3+2x^2+2x-3)\\ *\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }f(x)=\underset{h\to 0}{\lim }f\left(\frac{\pi }{2}+h\right)\end{array}$

البداية

---

نهاية مركبة دالة تقبل نهاية و دالة متصلة

fدالة معرفة على مجال مفتوح منقطIمركزهaوgدالة معرفة على مجالJبحيث$f\left(I\right)\subset J$
اذا كانت الدالةfتقبل النهاية l فيaو كانت الدالةgمتصلة في l فان$\underset{x\to a}{\lim }gof(x)=g(l)$
ملاحظة:ما سبق ذكره يظل صالحا بجوار$a^{+},a^{-},-\infty ,+\infty$ مع تعويضIبمجال مناسب.

مثال:احسب$\underset{x\to 1}{\lim }\tan (x^2-1)$

جواب: بما ان$\underset{x\to 1}{\lim }{x}^2-1=0$ و الدالة$x\mapsto \tan x$ متصلة في 0 فان$\underset{x\to 1}{\lim }\tan \left(x^2-1\right)=\tan (0)=0$

البداية

---

صورة مجال بدالةمتصلة

صورة مجال من IR بدالة متصلة هو مجال من IR

البداية

---

اتصال مركبة دالتين

f دالة معرفة على مجالIوgدالة معرفة على مجالJبحيث$f\left(I\right)\subset J$
1. ليكنaعنصرا منI.
   اذ كانتfمتصلة فيaو كانتgمتصلة في$f\left(a\right)$ فان$gof$ تكون متصلة فيa
2. اذا كانتfمتصلة علىIوgمتصلة علىJفان$gof$ تكون متصلة علىI

تمرين تطبيقي:
نعتبر الدالة$h:x\mapsto \frac{x^2+2x+2}{{\left|x+1\right|}^3+1}$

1. حدد حيز تعريف الدالةh
2. نعتبر الدالتين$f:x\mapsto \left|x+1\right|$ و$g:x\mapsto \frac{x^2+1}{x^3+1}$
   
   1. حدد حيز تعريف كل من الدلتينfوg
   2. تأكد ان$h(x)=\left(gof\right)(x)$لكلxمن IR
3. انشئ منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم$\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$
4. تأكد مبيانيا ان$f(ℝ)\subset \left]-\mathrm{1,}+\infty \right[$
5. ادرس اتصال الدالةh

ارشاد: لا تنتظر ذلك فالجواب داخل الاسئلة

البداية

---

مبرهنة القيم الوسيطية

1. اذا كانتfدالة متصلة على مجال$\left[a,b\right]$من IR وKعدد حقيقي محصور بين$f(a),f(b)$فانه يوجدعلى الاقل عدد حقيقي c من$\left[a,b\right]$حيث$f(c)=k$
   
2. نتائج
   1. اذا كانتfدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجال$\left[a,b\right]$ من IR فانه لكل عدد حقيقي محصور بين$f(a),f(b)$المعادلة$f(x)=k$تقبل حلا وحيدا في المجال$\left[a,b\right]$
   2. اذا كانتfدالة متصلة على المجال$\left[a,b\right]$و$f(a)\times f(b)\langle 0$فان المعادلة$f(x)=0$تقبل حلا على الاقل في$\left[a,b\right]$
3. تمرين تطبيقي
   fدالة معرفة على المجال$I=\left[-\mathrm{3,6}\right]$ ب$f(x)=x^3-12x$
   1. احسب$f^{\text{'}}(x)$لكلxمنIثم ضع جدول تغيرات الدالةf
   2. لماذا المعادلة$f(x)=30$ لها حلول في المجالI
   3. كم لهذه العادلة من حل فيI

البداية

---

الدالة العكسية لدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجال

اذا كانتfدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجالIمن IR فانها تكون تقابلا منIنحو المجال$f(I)$ و تقبل دالة عكسية$f^{-1}$ معرفة من$f(I)$ نحوIو :
1. $f^{-1}$ تكون متصلة على$f(I)$
2. $f^{-1}$ لها نفس منحى تغيراتf
3. $C_f,C_{f^{-1}}$متماثلان بالنسبة للمنصف الاول
4. 1. $\left(\forall x\in I\right):\left(f^{-1}of\right)(x)=x$
   2. $\left(\forall x\in f(I)\right):\left(fo{f}^{-1}\right)(x)=x$
   3. $\forall x\in I\forall y\in f(I)f(x)=y\iff x=f^{-1}(y)$
5. تمرين تطبيقي
   نعتبر الدالة المعرفة على المجال$I=\left]-\mathrm{1,1}\right[$بما يلي :$f(x)=\frac{2x}{1-x^2}$
   1. بين انfتقابل منIنحو IR
   2. حدد التقابل العكسي$f^{-1}$
   3. انشئ المنحنيين$C_{f^{-1}},C_f$ في نفس المعلم
   ارشاد:
   

البداية

---

تطبيقات

دالة الجذر من الرتبة n

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم
الدالة$x\mapsto x^n$ تقابل من${ℝ}^{+}$ نحو${ℝ}^{+}$ وتقبل دالة عكسية$f^{-1}$ من${ℝ}^{+}$ نحو${ℝ}^{+}$ بحيث$\forall x\in {ℝ}^{+}{f}^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}$

نتائج

$(x,y)\in {ℝ}^{+2}(p,n)\in {\mathbb{N}}^{*2}$
1. الدالة$x\mapsto \sqrt[n]{x}$ متصلة و تزايدية قطعا على${ℝ}^{+}$
2. $\sqrt[n]{x^n}={\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n=x$
3. $\begin{array}{l}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{y}\iff x=y\\ \sqrt[n]{x}\langle \sqrt[n]{y}\iff x\langle y\end{array}$
4. ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^p=\sqrt[n]{x^p}$
5. $\sqrt[np]{x^p}=\sqrt[n]{x}$
6. $\sqrt[n]{\sqrt[p]{x}}=\sqrt[np]{x}$
7. $\sqrt[n]{x}\times \sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{x\times y}$
8. $\left(y\rangle 0\right)\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}$
9. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{x}=+\infty$

النهاية و الاتصال

1. اذا كانتfدالة متصلة وموجبة على مجالIمن IR فان الدالة$x\mapsto \sqrt[n]{f(x)}$ متصلة على المجالI
2. اذا كان$\left(l\ge 0\right)\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$ فان$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l}$
3. اذا كان$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$ فان$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt[n]{f(x)}=+\infty$

القوة الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا
ليكنaعددا حقيقيا موجبا قطعا و$\left(p,q\right)\in {\mathbb{Z}}^{*}\times {\mathbb{N}}^{*}$ لدينا$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$
$\left(\text{a}\in {ℝ}^{\text{+*}}\right)a^0=1$ تمرين تطبيقي

1. احسب$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}$
2. احسب$\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{x^3+x+1}-x$

دالة قوس الظل

الدالة$x\mapsto \tan x$متصلة و تزايدية قطعا على المجال$\left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$اي تقابل من$\left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$ نحو IR لان$\left(\underset{x\to {\frac{-\pi }{2}}^{+}}{\lim }\tan x=-\infty ;\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }\tan x=+\infty \right)$ وبالتالي فانها تقبل دالة عكسية$f^{-1}$ معرفة من IR نحو$\left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$ بحيث$\left(\forall x\in ℝ\right)f^{-1}(x)=Arc\tan x$
نتائج

1. الدالة$x\mapsto Ar\tan x$متصلة و تزايدية قطعا على IR
2. $\left(\forall x\in ℝ\right):\tan \left(Arc\tan (x)\right)=x$
3. $\left(\forall x\in \left]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[\right):Arc\tan \left(\tan (x)\right)=x$
4. $\begin{array}{l}\forall \left(x,y\right)\in {ℝ}^{2}Arc\tan x=Arc\tan y\iff x=y\\ \forall \left(x,y\right)\in {ℝ}^{2}Arc\tan x\langle Arc\tan y\iff x\langle y\end{array}$
5. $\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }Arc\tan x=\frac{\pi }{2}\underset{x\to -\infty }{\lim }Arc\tan x=-\frac{\pi }{2}\\ \end{array}$
6. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{Arc\tan x}{x}=1$
7. $\left(\forall x\in ℝ\right):Arc\tan (-x)=-Arc\tan x$

ـمرين تطبيقي

نعتبر الدالة$x\mapsto Arc\tan \frac{\sqrt{3}x+1}{x-2}$
1. حدد مجموعة تعريف الدالةf
2. حدد$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x);\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$

البداية