الاشتقاق

تذكير

f دالة عددية معرفة على مجال I من IR و
g دالة عددية معرفة على مجال J من IR

$f (I) \subset J$
اذا كانتf قابلة للاشتقاق على I وg
قابلة للاشتقاق على J فان $g ο f$ قابلة للاشتقاق على I

I=J
اذا كانتf قابلة للاشتقاق على I و
g قابلة للاشتقاق و لا تنعدم على I
فان $\frac{f}{g}$ قابلة للاشتقاق على I

اذا كانتf قابلة للاشتقاق و موجبة قطعا على I
فان الدوال $\sqrt{f}; \sqrt[3]{f}$ قابلة للاشتقاق على I

اذا كانتf قابلة للاشتقاق على I
فان الدالة $\arctan (f)$ قابلة للاشتقاق على I

تمرين1

ادرس قابلية اشتقاق الدالةf في كل حالة من الحالات التالية
و احسب

f^{'} (x)

لكل x من مجموعة قابلية اشتقاقها

$f : x \mapsto \cos^{2} (2 x^{2} - 1)$
$f : x \mapsto \sin^{2} (\cos (2 x - 1))$
$f : x \mapsto \frac{x^{2} - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$
$f : x \mapsto \frac{\sin x}{2 \cos x - 1}$
$f : x \mapsto \cos (x^{3} - 6 x)$
$f : x \mapsto x \sqrt{x^{2} - 4}$
$f : x \mapsto \sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$
$f : x \mapsto {(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{2}$
ادرس قابلية اشتقاق الدالةf في 0 : $f : x \mapsto {\begin{cases} \arctan x; x 〈 0 \\ \tan x; x \geq 0 \end{cases}$

الجواب

تمرين2

لتكنf الدالة العددية المعرفة بما يلي

f (x) = x^{19}

أحسب العدد المشتق للدالةf في 1
استنتج قيمة مقربة للاعداد $f (1,001); f (0,999)$

الجواب

تمرين3

نفس اسئلة التمرين الاول

$f : x \mapsto {(2 x^{2} - 1)}^{3}$
$f : x \mapsto \frac{2}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$
$f : x \mapsto \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$
$f : x \mapsto = \frac{x^{2} + 4 x + 6}{x^{2} + 2 x + 3}$
$f : x \mapsto \sqrt{\frac{x + 1}{x^{2} + 2}}$

الجواب

تمرين4

حدد مشتقات الدوال التالية بعد تحديد مجالات تعريفها
$\begin{array}{l} x \mapsto - \sqrt[3]{x^{4}} + {(x^{2})}^{\frac{1}{3}} \\ x \mapsto x^{\frac{2}{3}} \\ x \mapsto {(x^{3} - x)}^{- \frac{2}{3}} \\ x \mapsto {(\cos (2 x))}^{- \frac{3}{4}} \\ x \mapsto x^{\frac{4}{3}} + \sqrt[4]{x^{3}} \\ x \mapsto A r c \tan (\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}) \\ x \mapsto A c \tan \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}; (I =] - π; π [) \end{array}$

الجواب

جواب التمرين1

الدالة $f_{1} : x \mapsto 2 x^{2} - 1$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ . دالة حدودية. $(f_{1} (ℝ) \subset [- 1; + \infty [)$

الدالة $f_{2} : x \mapsto \cos^{2} (x)$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ . جداء دالتين قابلتين للاشتقاق على $ℝ$
اذن $f_{2}$ قابلة للاشتقاق على $[- 1; + \infty [$
خلاصة
الدالة $f : x \mapsto (f_{2} ο f_{1}) (x)$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$
$\begin{array}{l} (\forall x \in ℝ) \\ f^{'} (x) = {(f_{2} ο f_{1})}^{'} (x) \\ f^{'} (x) = f_{2}^{'} (f_{1} (x)) \times f_{1}^{'} (x) \end{array}$
اي
$f^{'} (x) = - 8 x \cos (2 x^{2} - 1) \sin (2 x^{2} - 1)$

المرجع : التمرين الاول

الدالة $f_{1} : x \mapsto x^{2} - 2 x$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ . دالة حدودية .
الدالة $f_{2} : x \mapsto {(x + 1)}^{2}$ قابلة للاشتقاق و لا تنعدم على $ℝ - {- 1}$
اذن الدالة $f : x \mapsto \frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ - {- 1}$
$\begin{array}{l} \forall x \in ℝ - {- 1} \\ f^{'} (x) = \frac{f_{1}^{'} (x) f_{2} (x) - f_{1} (x) f_{2}^{'} (x)}{{(f_{2} (x))}^{2}} \\ f^{'} (x) = \frac{(2 x - 2) (x + 1) - 2 (x^{2} - 2 x)}{{(x + 1)}^{3}} \end{array}$
اتمم

نفس تحليل التمرين الثاني
نثبت انf قابلة للاشتقاق على $ℝ$ محرومة من الاعداد التي تكتب على الشكل $\frac{π}{3} + 2 k π; - \frac{π}{3} + 2 k π (π \in ℤ)$

المرجع : التمرين الاول

الدالة $f_{1} : x \mapsto x^{2} - 4$ قابلة للاشتقاق و موجبة قطعا على $I =] - \infty; - 2 [\cup] 2; + \infty [$
اذن الدالة $f_{2} : x \mapsto \sqrt{x^{2} - 4}$ قابلة للاشتقاق على I
خلاصة
الدالة $f : x \mapsto x \sqrt{x^{2} - 4}$ قابلة للاشتقاق على I. جداء دالتين قابلتين للاشتقاق على I
$\begin{array}{l} \forall x \in I \\ f^{'} (x) = \sqrt{x^{2} - 4} + \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} - 4}} x \\ f^{'} (x) = \sqrt{x^{2} - 4} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} \end{array}$
اتمم...

الدالة $x \mapsto {(2 x + 1)}^{2}$ موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق على $I = ℝ \ {- \frac{1}{2} \frac{}{}}$
اذن الدالة $x \mapsto \sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ قايلة للاشتقاق على I
$\begin{array}{l} \forall x \in I; f (x) = {({(2 x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}} \\ \forall x \in I \\ f^{'} (x) = \frac{1}{3} {[{(2 x + 1)}^{2}]}^{- \frac{2}{3}} \times 2 \times (2 x + 1) \times 2 \\ f^{'} (x) = \frac{4 (2 x + 1)}{3 \sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{4}}} \end{array}$

الدالة $x \mapsto 2 x + 1$ موجبة قطعا و قابلة للاشتقاق على $I =] - \frac{1}{2}; + \infty [$
اذن الدالة $x \mapsto \sqrt[3]{2 x + 1}$ قابلة للاشتقاق على I . و كذاك الدالة $x \mapsto {(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{2}$
$\begin{array}{l} \forall x \in I; f (x) = {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} \\ \forall x \in I; f^{'} (x) = \frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x + 1}} \end{array}$

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{A r c \tan x}{x}$ اتمم....
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan x}{x}$ اتمم ....

التمرين

جواب التمرين 2
تذكير اذا كانتf دالة قابلة للاشتقاق في نقطة a . فان الدالة

x \mapsto f^{'} (a) (x - a) + f (a)

تسمى الدالة التالفية المماسة للدالةf عند النقطة a

الدالة $x \mapsto x^{19}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$
$\begin{array}{l} \forall x \in ℝ : f^{'} (x) = 19 x^{18} \\ f^{'} (1) = 19 \end{array}$
الدالة التالفية المماسة للدالةf عند 1 هي :
$x \mapsto 19 x - 18$ اتمم .....

التمرين

جواب التمرين 3

المرجع : التمرين الاول التمرين

جواب التمرين4

المرجع : التمرين الاول التمرين