étude fonction

تمرين1

لتكنfالدالة العددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

f (x) = x^{3} + x

لتكنfالعددية للمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

f (x) = x \sqrt{\frac{| x | - 1}{| x | + 1}}

بين أن مجموعة تعريف الدالةfهي : $D_{f} =] - \infty, - 1] \cup [1, + \infty [$
ادرس زوجية الدالةf.
ادرس قابلية اشتقاق الدالةfفي 1 على اليمين و اول النتيجة هندسيا.
بين ان الدالةfتزايدية على المجال $] 1, + \infty [$
ضع جدول تغيرات الدالةf.
بين أنه : $\forall x \in] 1, + \infty [: f (x) - x = \frac{x}{x + 1} \times \frac{- 2}{\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} + 1}$
حدد الفروع اللانهائية لمنحنى الدالةfبجوار $+ \infty$
انشئ منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم.

نعتبر الدالة العدديةfللمتغير الحقيقيxالمعرفة بما يلي :

f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 1} - 1}

تحقق أن مجموعة تعريف الدالةfهي : $D_{f} = [- 1,0 [\cup] 0, + \infty [$
احسب $\lim_{x \to + \infty} f (x) .. \lim_{x \to 0^{-}} f (x) .. \lim_{x \to 0^{+}} f (x)$
احسب : $\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}$
اول النتيجة السابقة هندسيا.
ادرس قابلية اشتقاق الدالةfفي $- 1$ على اليمين .
احسب $\forall x \in D_{f} - {- 1} : f^{'} (x)$
ضع جدول تغيرات الدالةf.
تحقق من ان : $\forall x \in D_{f} - {- 1} : f^{'} (x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{x + 1} - 1} - \frac{1}{{(\sqrt{x + 1} - 1)}^{2}})$
بين ان أصل المعلم نقطة انعطاف لمنحنى الدالةf.
انشئ منحنى الدالةf.

نعتبر الدالة العددية

g

المعرفة على المجال

[- 1; + \infty [

بما يلي :

g (x) = x \sqrt[3]{1 + x}

ادرس قابلية اشتقاق الدالة $g$ على اليمين في $- 1$ .
- بين أن : $\forall x \in] - 1; + \infty [; g^{'} (x) = \frac{4 x + 3}{3 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{2}}}$
- ادرس تغيرات الدالة $g$
- بين أن $\forall x \in] - 1; + \infty [; g (x) \geq x$
ليكن ( C ) المنحنى الممثل للدالة g في معلم متعامد ممنظم .
- أكتب معادلة ديكارتية لمماس $(C)$ في النقطة $0$
- أنشئ $(C)$ و مماسه في النقطة $0$ ( خذ $\sqrt[3]{\frac{1}{4}} ≃ 0,6$
لتكن ( u n ) المتتالية العددية المعرفة بما يلي : { u 0 ∈ [ −1;+∞ [ −{ 0 } u n+1 =g( u n )
- بين أن $(u_{n})$ تزايدية .
- نفترض أن : −1≤ u 0 ≺0
  - بين أن لكل $n$ من $ℕ$ : $- 1 \leq u_{n} ≺ 0$
  - بين أن $(u_{n})$ متقاربة و احسب نهايتها .
- نفترض أن u 0 ≻0 : و نضع k= u 0 ( u 0 +1 3 −1 )
  - بين أن : $\forall n \in ℕ; u_{n + 1} - u_{n} \geq k$
  - احسب نهاية $(u_{n})$

لتكن

f

الدالة العددية المعرفة على

ℝ^{*}

كما يلي :

f (x) = \frac{1}{x^{2}} - 2 \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}

ادرس زوجية الدالة $f$
- حدد نهاية $f$ عند $+ \infty$ و أول النتيجة مبيانيا.
- بين أن نهاية $f$ في $0$ على اليمين هي $+ \infty$ و أول النتيجة مبيانيا.
بين أن $f$ تناقصية قطعا على المجال $] 0; + \infty [$
ليكن ( C ) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم .
- بين أن $(C)$ يقطع محور الأفاصيل في نقطة وحيدة أفصولها $a$ يحقق : $\frac{1}{4} ≺ a ≺ \frac{1}{2}$
- أنشئ $(C)$