مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الهندسة الفضائية

في جميع التمارين الفضاء التآلفي منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر

أسئلة مباشرة

1. أوجد معادلة ديكارتية للمستوى $\left(P\right)$ المار من النقطة $A\left(1;-1;1\right)$ و العمودي على المستقيم $\left(D\right)$ ذي التمثيل البارامتري : $\left(D\right):\{\begin{array}{l}x=-3+3t\\ y=1-3t\\ -2+4t\end{array}\left(t\in ℝ\right)$
2. حدد متجهة منظمية للمستوى $\left(P\right)$ المار من النقطة $A\left(1;1;1\right)$ و الموجه بالمتجهتين $\overrightarrow{u}\left(1;2;3\right)$ و $\overrightarrow{v}\left(3;2;1\right)$
3. اوجد معادلة للمستوى $\left(P\right)$ المار من النقطة $A\left(1;-2;1\right)$ و العمودي على المستقيم ذي المعادلتين $\{\begin{array}{l}x-2y+z+3=0\\ x-y-z+2=0\end{array}$.
4. اوجد معادلة ديكارتية للمستوى $\left(ABC\right)$ حيث
   $A\left(1;2;0\right);B\left(0;0;1\right);C(1;5;5)$
5. اوجد مسافة النقطة $M\left(3;2;-1\right)$ عن المستقيم $\left(\Delta \right):\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=2t\\ z=1+t\end{array}\left(t\in ℝ\right)$
6. احسب مساحة المثلث ABC حيث $A\left(1;2;0\right);B\left(0;0;1\right);C\left(1;5;5\right)$

الجواب

تمرين 1

ادرس تقاطع المستوى $\left(P\right)$ و الفلكة $\left(S\right)$ في كل حالة من الحالات التالية:

1. 
   $\begin{array}{l}\left(P\right):x=3\\ \left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+2y-10z+22=0\end{array}$
   
2. 
   $\begin{array}{l}\left(P\right):x+y+z-4=0\\ \left(S\right):x^2+y^2+z^2+2y-4z-7=0\end{array}$
   
3. 
   $\begin{array}{l}\left(P\right):x-2y+z+1=0\\ \left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x-2y-2z-3=0\end{array}$
   
4. 
   $\begin{array}{l}\left(P\right):x-2y+z+1=0\\ \left(S\right):x^2+y^2+z^2+6y-4z+9=0\end{array}$
   

الجواب

تمرين 2

نعتبر النقطتين $A\left(1;1;-1\right)$ و $B\left(-1;1;1\right)$

1. اعط معادلة ديكارتية للفلكة $\left(S\right)$ التي أحد أقطارها $\left[AB\right]$
2. ليكن $\left(P\right)$ المستوى المعرف بالمعادلة $z-1=0$ .
   بين أن المستوى $\left(P\right)$ يقطع الفلكة $\left(S\right)$ وفق دائرة $\left(C\right)$ يتم تحديد مركزها و شعاعها.

الجواب

تمرين 3

نعتبر المستوى $\left(P\right):x+y-z+3=0$ و النقطة $A\left(2;0;2\right)$ .

1. اعط تمثيلا بارامتريا للمستقيم $\left(D\right)$ المار منA و العمودي على المستوى $\left(P\right)$
2. حدد احداثياتBنقطة تقاطع المستقيم $\left(D\right)$ و المستوى $\left(P\right)$
3. اعط معادلة ديكارتية للفلكة $\left(S\right)$ التي مركزهاAو تقطع المستوى $\left(P\right)$ وفق الدائرة التي مركزهاBو شعاعها 2.

الجواب

تمرين 4

نعتبر الفلكة $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-19=0$ و المستقيم $\left(\Delta \right):\{\begin{array}{l}x-1=0\\ \frac{y-4}{3}=\frac{z-9}{4}\end{array}$ .

1. حدد شعاع الفلكة $\left(S\right)$ و مركزها $\Omega$
2. تحقق أن $\Omega \in \left(\Delta \right)$ و حدد متجهة موجهة للمستقيم $\left(\Delta \right)$
3. $\left(P_1\right)$ و $\left(P_2\right)$ هما المستويان المماسان للفلكة $\left(S\right)$ و العموديان على المستقيم $\left(\Delta \right)$. اعط معادلة ديكارتية لكل من المستويين $\left(P_1\right)$ و $\left(P_2\right)$ و حدد نقطتي التماس.

الجواب

تمرين 5

نعتبر النقط $A\left(1;2;1\right);B\left(1;-2;3\right);C\left(0;2;-1\right)$ و الفلكة $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=5$.

1. حدد معادلة ديكارتية للمستوى $\left(P\right)$ المار من النقطAوBوC.
2. ادرس تقاطع المستوى $\left(P\right)$ و الفلكة $\left(S\right)$
3. نعتبر المستوى $\left(Q\right):2y-z-3=0$
   • بين ان $\left(P\right)$ و $\left(Q\right)$ متعامدان و حدد تمثيلا بارامتريا لتقاطعهما $\left(\Delta \right)$
   • بين ان $\left(\Delta \right)$ مماس للفلكة $\left(S\right)$ في نقطة يتعين تحديدها.
   • نعتبر المستقيم $\left(D\right):\{\begin{array}{l}x=2+\left(\sqrt{2}-1\right)t\\ y=\sqrt{3}t\\ z=2t\end{array}\left(t\in ℝ\right)$ . ادرس الوضع النسبي لهذا المستفيم و الفلكة$\left(S\right)$

الجواب