تمرين1

اعط الشكل الجبري للعدد العقدي z في الحالات التالية: $z=\frac{1-i}{2i};z=(1+i)(1-2i);z=\frac{3-4i}{7+5i}$

تمرين2

نضع $Z=\frac{z-2i}{z+3}(z\ne -3)$
1. اعط الشكل الجبري في الحالة التالي: $z=x+iy$
2. لتكن $M(z)$
   1. حدد مجموعة النقطM حيث Z عدد حقيقي.
   2. حدد مجموعة النقطM حيث Z عدد تخيلي صرف.

تمرين3

حدد مجموعة صور الاعداد العقدية z حيث Z عدد حقيقي:
$Z=(z-1)(\overline{z}-i)$

تمرين4

المستوى منسوب الى م. م . م $(o,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$
نضع : $z=x+yi,A(i),B(iz),M(z)$
حدد مجموعة النقطM حيث Aو B وM نقط مستقيمية .

تمرين5

تمرين6

تمرين7

نعتير الاعداد العقدية $Z=\frac{z_1}{z_2};z_2=1-i;z_1=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{2}$
1. اكتب $z_2;z_1$ على الشكل المثلثي
2. اكتب Z على الشكل الجبري
3. استنتج قيمة $\sin \frac{\pi }{12};\cos \frac{\pi }{12}$

تمرين8

نضع $B=-5\left(1+\sqrt{3}i\right);A=5\sqrt{2}\left(1+i\right)$
1. حدد معيار و عمدة للاعداد $\frac{1}{A};\overline{A};B;A$
2. ليكن z العدد العقدي الذي يحقق Az=B . اكتب z على
   شكله الجبري ثم على شكله المثلثي
3. استنتج قيمة $\sin \frac{13\pi }{12};\cos \frac{13\pi }{12}$

تمرين 9

في المستوى العقدي منسوب الىمعلم متعامد ممنظم $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ نعتبر النقط $\Omega ,A,B$ صور الأعداد العقدية التالية على التوالي : $\omega =5+5i;a=12+6i;b=10i$
1. أنشئ النقط $\Omega ,A,B$
2. • احسب : $\left|\omega \right|,\left|a-\omega \right|,\left|b-\omega \right|$
   • استنتج أن النقط $O,A,B$ تنتمي الى دائرة $\left(C\right)$ محددا مركزها و شعاعها.
3. حدد معادلة للدائرة $\left(C\right)$ و بين أنه يمكن كتابتها على الشكل $x^2+y^2-10x-10y=0$
4. لتكن $A^{\text{'}}$ صورة العدد العقدي $a^{\text{'}}=ia$ . احسب احداثيات المتجهتين $\overrightarrow{BA}$ و $\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}$ .ماذا تستنتج؟
5. لتكنM نقطة من المستو ذات اللحق $z=x+iy$ و $M^{\text{'}}$ نققطة ذات اللحق $z^{\text{'}}=iz$
   • احسب احداثيات المتجهتين $\overrightarrow{BM}$ و $\overrightarrow{B{M}^{\text{'}}}$ بدلالة $x$ و $y$
   • نفترض هنا أن $B,M,M^{\text{'}}$ نقط مستقيمية.الى أي مجموعة تنتمي النقطةM ؟

تمرين 10

1. • بين أن $P(z)$ تقبل جذرا حقيقيا $z_0$
   • بين أن $\forall z\in ℂ;P(z)=\left(z-z_0\right)\left(z^2-2\left(1+2i\right)z-6\right)$
2. نعتبر في $ℂ$ المعادلة : $\left(E\right):z^2-2\left(1+2i\right)z-6=0$ . ولتكن $z_1$ و $z_2$ حلي المعادلة $\left(E\right)$ بحيث $\left|z_1\right|\prec \left|z_2\right|$
   • اكتب $z_1$ و $z_2$ على الشكل المثلثي.
   • بين أن ${\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}^4\in ℝ$
3. نعتبر في المستوى العقدي النقط $C\left(3\left(1+i\right)\right);B\left(-1+i\right);A\left(2\right)$ . بين أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية و متساوي الساقين في $A$

تمرين 11

1. حل في $ℂ$ المعادلة : $\left(E\right):z^2-\left(\sqrt{3}+i\sqrt{3}\right)z+2i=0$
2. نعتبر الأعداد العقدية $z_0$ و $z_1$ و $z_2$ حيث $z_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{3}+1}{2}i;z_1=\frac{\sqrt{3}+1}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}i;z_0=1-i$
   • بين أن $\frac{z_2}{z_0}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
   • استنتج الشكل المثلثي ل $z_2$
   • تحقق أن : $z_2=z_1-z_0$
   • نعتبر في المستوى العقدي النقط $C\left(z_2\right);B\left(z_1\right);A\left(z_0\right)$ . بين أن المثلث $ABC$ متساوي الساقين في $B$ ثم حدد قياسا للزاوية الموجهة $\stackrel{\wedge }{\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)}$

تمرين 12

1. بين أنه إذا كان $\alpha$ جذر للحدودية $P\left(z\right)$ فإن $\frac{1}{\alpha }$ و $\overline{\alpha }$ جذران كذلك للحدودية $P\left(z\right)$
2. بين أن الحدودية $P\left(z\right)$ تقبل جذرين تخيليين صرفين يجب تحديدهما.
3. حدد العددين العقديين $a$ و $b$ حيث $\forall z\in ℂ;P\left(z\right)=\left(z^2+1\right)\left(z^2+az+b\right)$
4. حل في $ℂ$ المعادلة $\left(E\right):P\left(z\right)=0$
5. • بين أن حلول المعادلة $\left(E\right)$ هي جذور ثامنة للوحدة
   • أوجد الجذور الثامنة الأخرى.
6. • نضع $z_1=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ احسب $z_1^8$
   • ليكن $u$ جذر ثامن للوحدة. بين أن $u{z}_1$ جذر ثامن للعدد العقدي : $z_0=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
   • استنتج الجذور الثامنة للعدد $z_0$

تمرين 13

1. تحقق من أن $\forall z\in ℂ-\left\{-1;1\right\};g(z)=\frac{z\left(1-{\left(\overline{z}\right)}^2\right)}{{\left|1-z^2\right|}^2}$ حيث $\overline{z}$ هو مرافق $z$
2. نضع $z=x+iy$ و $z\left(1-{\left(\overline{z}\right)}^2\right)=X+iY$ حيث $x$ و $y$ و $X$ و $Y$ اعداد حقيقية. بين أن $\{\begin{array}{l}X=x-x^3-x{y}^2\\ Y=y+y^3+x^{2}y\end{array}$
3. المستوى $\left(P\right)$ منسوب إلى معلم متعامد ممنظم $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$، لتكن $\left(C\right)$ مجموعة النقط $M$ بحيث لحقها $z$ يحقق $g(z)$ عدد تخيلي صرف. حدد طبيعة المجموعة $\left(C\right)$ ثم انشئها .
4. نضع $z=\cos \theta +i\sin \theta$ حيث $\theta \in \left]\mathrm{0,}\pi \right[$
   • بين أن $g(z)=\frac{i}{2\sin \theta }$
   • بين أن $z\times g(z)=\frac{1}{2\sin \theta }\left[\cos \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)\right]$
   • نضع $z_0=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ . اكتب على الشكل المثلثي : ${\left[z_0\times g\left(z_0\right)\right]}^6$

تمرين 14

1. • احسب $P(1)$
   • حدد العددين العقديين $a$ و $b$ حيث : $\forall z\in ℂ;P(z)=\left(z-1\right)\left(z^{2}az+b\right)$
2. نضع $Q(z)=z^2+\left(\sqrt{3}+7i\right)z-4\left(3-\sqrt{3}i\right)$ . نرمز ب $z_1$ و $z_2$ لحلي المعادلة $\left(E\right):Q(z)=0$ حيث : $\mathrm{Re}\left(z_1\right)\prec \mathrm{Re}\left(z_2\right)$.
   اكتب $z_1$ و $z_2$ على الشكل المثلثي.
3. نعتبر في المستوى العقدي المنسوب الى المعلم $\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right)$ النقط : $C\left(z_2\right),B\left(z_1\right),A\left(-2i\right)$.
   • مثل النقط $A$ و $B$ و $C$ .
   • تحقق أن $2\left(z_1+2i\right)=\left(1-\sqrt{3}i\right)\left(z_2+2i\right)$
   • استنتج أن المثلث $ABC$ متساوي الأضلاع.
4. لتكن النقطتين $M$ و $N$ لحقاهما على التوالي $z_1^6$ و $z_2^6$ .احسب ${\left(\frac{z_2}{z_1}\right)}^6$ ثم استنتج أن $O$ و $M$ و $N$ مستقيمية.

تمرين 15

1. • حل في $ℂ$ المعادلة : $\left(E\right):z^2+\left(1+i\right)z+2i=0$
   • نعتبر الحدودية : $P(z)=z^3+2-2i$ . احسب $P(1+i)$ ثم حل في $ℂ$ المعادلة $P(z)=0$
   • اعط على الشكل المثلثي الجذور المكعبة للعدد العقدي : $-2+2i$
   • استنتج مما سبق : $\cos \frac{\pi }{12}$ و $\sin \frac{\pi }{12}$
2. • بين أنه توجد ثلاث متتالية هندسية ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ للأعدادالعقديةبحيث $u_3=-i$ و $u_6=2+2i$ ( احسب لكل من المتتاليات الثلاث الأساس $q$ و الحد الأول $u_0$ )
   • لتكن المتتالية العقدية ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي : $\{\begin{array}{l}{z}_0=\frac{1}{4}\left(-1+i\right)\\ z_{n+1}=\left(1+i\right)z_n\end{array}$
     • احسب $z_n$ بدلالة $n$
     • اكتب $z_n$ على الشكل المثلثي .
     • حدد قيم $n$ لكي يكون $z_n$ عددا حقيقيا.

تمرين 16

1. ليكن $\theta$ عددا حقيقيا بحيث $\left(k\in \mathbb{Z};\theta \ne k\pi \right)$ . اكتب $\frac{1+\cos \theta +i\sin \theta }{1-\cos \theta -i\sin \theta }$ على الشكل المثلثي.
2. احسب الجذور الخامسة للعدد $32i$
3. استنتج من ذلك حلول المعادلة $\left(z\in ℂ\right);{\left(z-1\right)}^5-{\left(iz+i\right)}^5=0$