المتتاليات العددية

u_{n + 1} = f (u_{n})

المتتاليات العددية

I مجال من

ℕ

كل تطبيقuمن I نحو

ℝ

يسمى متتالية عددية و نرمز لها ب

{(u_{n})}_{n \in I}

u_{n}

: يسمى الحد العام للمتتاليةu

متتالية مكبورة مصغورة محدودة
- ${(u_{n})}_{n \in I}$ متتالية مكبورة $(\exists M \in ℝ) (\forall n \in I) u_{n} \leq M \Leftrightarrow$
- ${(u_{n})}_{n \in I}$ متتالية مصغورة $(\exists m \in ℝ) (\forall n \in I) u_{n} \geq m \Leftrightarrow$
- ${(u_{n})}_{n \in I}$ متتالية محدودة $(\exists (m, M) \in ℝ^{2}) (\forall n \in I) m \leq u_{n} \leq M \Leftrightarrow$
رتابة متتالية عددية
- ${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية تزايدية $\forall n \geq n_{o} u_{n + 1} - u_{n} \geq 0 \Leftrightarrow$
- ${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية تناقصية $\forall n \geq n_{o} u_{n + 1} - u_{n} \leq 0 \Leftrightarrow$
- ${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية ثابتة $\forall n \geq n_{o} u_{n + 1} = u_{n} \Leftrightarrow$
- كل متتالية ${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ تزايدية او تناقصية تسمى متتالية رتيبة
1. اذا كان لكلnمن I لدينا $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \geq 1$ فان المتتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ تزايدية
2. اذا كان لكلnمن I لدينا $0 〈 \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq 1$ فان التتالية ${(u_{n})}_{n \in I}$ تناقصية
امثلة
- المتتالية ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ المعرفة بما يلي : $u_{n} = - 2 n + 3$ مكبورة بالعدد 3 $(\forall n \in ℕ u_{n} \leq 3)$
- المتتالية ${(v_{n})}_{n \in ℕ}$ المعرفة بما يلي : $v_{n} = n^{2}$ مصغورة بالعدد 0 $(\forall n \in ℕ v_{n} \geq 0)$
- المتتالية ${(w_{n})}_{n \in ℕ}$ المعرفة بما يلي : $w_{n} = \frac{1}{n + 1}$ محدودة بالعددين 0 و 1 $(\forall n \in ℕ 0 \leq w_{n} \leq 1)$
- 1. احسب $u_{0}$ ثم استنتج انها مكبورة بالعدد 1
  2. هل هذه المتتالية محدودة علل جوابك

البداية

المتتاليات الحسابية

{(u_{n})}_{n \geq n_{o}}

متتالية حسابية أساسها r تكافئ

\forall n \geq n_{o} u_{n + 1} - u_{n} = r

${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية حسابية $\forall n \geq n_{o} 2 u_{n + 1} = u_{n + 2} + u_{n} \Leftrightarrow$
الحد العام لمتتالية حسابية
${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية حسابية اساسها r و $u_{p}$ احد حدودها
$\forall n \geq n_{o} u_{n} = u_{p} + (n - p) r$
مجموع حدود متتابعة لمتتالية حسابية
${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية حسابية
$u_{p} + u_{p + 1} + ........ + u_{n} = \frac{n - p + 1}{2} (u_{p} + u_{n})$
تمرين تطبيقي
1. حدد اساس كل من المتتاليتين ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ و ${(v_{n})}_{n \in ℕ}$
2. اكتب $u_{n}$ و $v_{n}$ بدلالةn
3. اثبت ان المتتالية ${(w_{n})}_{n \in ℕ}$ المعرفة بما يلي : $(\forall n \in ℕ) w_{n} = u_{n} + v_{n}$ حسابية محددا اساسها و حدها العام
4. احسب $\begin{array}{l} u_{0} + u_{1} + u_{2} + ...... u_{30} \\ v_{0} + v_{1} + v_{2} + ....... v_{30} \\ w_{0} + w_{1} + w_{2} + ...... w_{30} \end{array}$
5. حدد الاعداد الصحيحة الطبيعيةnحيث $(u_{0} + u_{1} + u_{2} + ....... u_{n} 〈 - 1200)$

البداية

المتتاليات الهندسية

{(u_{n})}_{n \in ℕ}

متتالية هندسية اساسهاqتكافئ

(\forall n \geq n_{o}) u_{n + 1} = q u_{n}

${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية هندسية $(\forall n \geq n_{o}) {(u_{n + 1})}^{2} = u_{n + 2} \times u_{n} \Leftrightarrow$
الحد العام لمتتالية هندسية
${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية هندسية اساسهاqو $u_{p}$ احد حدودها
$\forall n \geq n_{o} u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$
مجموع حدود متتابعة لمتتالية هندسية
${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية هندسية اساسهاqيخالف 1
$u_{p} + u_{p + 1} + ....... + u_{n} = u_{p} \times \frac{1 - q^{(n - p + 1)}}{1 - q}$
تمرين تطبيقي
1. احسب $u_{3}, u_{2}, u_{1}$
2. - اثبت ان ${(v_{n})}_{n \in ℕ}$ متتالية هندسية محددا اساسها و حدها الاول
  - عبر عن $v_{n}$ ثم $u_{n}$ بدلالةn
  - ادرس رتابة المتتالية ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$

البداية

نهاية متتالية عددية

لتكن

{(u_{n})}_{n \geq n_{o}}

متتالية عددية

$\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ تسمى نهاية المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$
${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية متقاربة $\lim_{n \to + \infty} u_{n} \in ℝ \Leftrightarrow$
${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ متتالية متباعدة $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \infty \Leftrightarrow$ او ${(u_{n})}_{n \geq n_{o}}$ لا تقبل نهاية

البداية

مصاديق التقارب

{(u_{n})}_{n \in I}

متتالية عددية و l عدد حقيقي

اذا كان لكلnمن I لدينا $| u_{n} - l | \leq v_{n}$ و $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ فان $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$
اذا كان لكلnمن I لدينا $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ و $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \lim_{n \to + \infty} w_{n} = l$ فان $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$
اذا كان لكلnمن I لدينا $u_{n} \leq v_{n}$ و $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ فان $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$
اذا كان لكلnمن I لدينا $u_{n} \leq v_{n}$ و $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ فان $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$
- اذا كان $- 1 〈 q 〈 1$ فان $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$
- اذا كان $q 〉 1$ فان $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$
- اذا كان $q \leq - 1$ فان المتتالية ${(q^{n})}_{n \in I}$ لا تقبل نهاية
كل متتالية تزايدية و مكبورة تكون متقاربة
كل متتالية تناقصية و مصغورة تكون متقاربة
تمرين تطبيقي
1. $(u_{n})$ متتالية عددية معرفة بما يلي $(\forall n \in ℕ^{*}) u_{n} = \frac{\sin n}{n}$
  هل هذه المتتالية متقاربة
2. $(u_{n})$ متتالية عددية معرفة بما يلي $(\forall n \in ℕ^{*}) u_{n} = \frac{n^{2} - 2}{n^{2} + n}$
  اثبت ان هذه المتتالية تزايدية و مكبورة ثم احسب نهايتها
3. $(u_{n})$ متتالية عددية معرفة بما يلي $(\forall n \in ℕ^{}) u_{n} = \frac{2 + {(- 1)}^{n}}{3^{n}}$
  اثبت ان هذه المتتالية تناقصية و مصغورة ثم احسب نهايتها

البداية

دراسة متتالية من النوع $u_{n + 1} = f (u_{n})$

لتكن $(u_{n})$ متتالية عددية معرفة بالعلاقة $u_{n + 1} = f (u_{n})$ و $u_{0}$ حدها الاول بحيث f دالة متصلة على مجال I و $f (I) \subset I$
اذا كانت $(u_{n})$ متتالية متقاربة فان نهايتها هي حل للمعادلة $(x \in I) f (x) = x$
تمرين تطبيقي
1. ادرس تغيرات الدالة f على المجال $I = [- 2,2]$
2. تأكد ان $f (I) \subset I$
3. اثبت ان $\forall n \in ℕ u_{n} 〈 2$
4. احسب $u_{1}$ ثم بين ان $(u_{n})$ تزايدية . ماذا تستنتج
5. احسب نهاية هذه المتتالية
ارشاد

المتتاليات العددية

المتتاليات العددية

البداية

المتتاليات الحسابية

البداية

المتتاليات الهندسية

البداية

نهاية متتالية عددية

البداية

مصاديق التقارب

البداية

دراسة متتالية من النوع u n+1 =f( u n )

البداية

دراسة متتالية من النوع $u_{n + 1} = f (u_{n})$