حساب التكامل

تمرين1
احسب ما يلي :

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{\left(x^3+1\right)}^{3}dx}$	|	${\displaystyle {\int }_0^1{\left(2x-1\right)}^{3}dx}$	|	${\displaystyle {\int }_{-1}^1\left(x-2x^3\right)dx}$
${\displaystyle {\int }_{\frac{-\pi }{2}}^0\cos x\left(\sin x+{\sin }^{3}x\right)}dx$	|	${\displaystyle {\int }_{-2}^0\left(x+1\right)\sqrt{x^2+2x+5}dx}$	|	${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{{\left(x^2+1\right)}^3}dx}$
${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{e}}\frac{2+\ln x}{x}dx}$	|	${\displaystyle {\int }_1^2\frac{\ln x}{x}}dx$	|	${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}xdx}$

الجواب

---

تمرين2

1. • حدد a و b بحيث $\frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x}$
   • احسب $I={\displaystyle {\int }_1^0\frac{x-1}{x\left(x+1\right)}dx}$
2. • تحقق أن $\left(\forall x\in ℝ-\left\{-2;2\right\}\right):\frac{x^2}{4-x^2}=-1+\frac{1}{2-x}+\frac{1}{2+x}$
   • احسب ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{x^2}{4-x^2}}dx$

الجواب

---

تمرين3
نضع $I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{\cos x}dx}$ و $J={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{\sin x}{\cos x}dx}$

1. احسب J.
2. تحقق أن لكل x من المجال $\left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ لدينا : $\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$ ثم احسب $I-J$
3. استنتج قيمة I.

الجواب

---

تمرين4
احسب باستعمال طريقة المكاملة بالأجزاء ما يلي :

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x}}dx}$	|	${\displaystyle {\int }_0^1{t}^2{e}^{-t}dt}$	|	${\displaystyle {\int }_0^1\left(2x+1\right)e^{-x}dx}$
${\displaystyle {\int }_0^1\left(x^2+2x+2\right)\ln \left(1+x\right)dx}$	|	${\displaystyle {\int }_0^3{\left(x-1\right)}^2{e}^{2x}dx}$	|	${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\left({\cos }^{2}x\right)dx}$

الجواب

---

تمرين5

1. احسب ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{\left(1+x\right)\sqrt{x}}}$ يمكنك وضع التغيير $t=\sqrt{x}$
2. احسب ${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt[3]{x+1}dx}$ يمكنك وضع التغيير $t=\sqrt[3]{x+1}$
3. احسب ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\left({\sin }^{3}x\right)\cos x}{1+{\left(\cos 2x\right)}^2}}dx$ يمكنك وضع التغيير $t=\cos 2x$

الجواب

---

تمرين6

1. أحسب التكامل التالي $I={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}\frac{e^x}{1+e^x}\ln \left(1+e^x\right)dx}$ يمكنك وضع التغيير $t=1+e^x$.
2. نضع $n,J_n={\displaystyle {\int }_0^1{x}^n{e}^{-x^2}dx}$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم .
   • احسب $J_1$
   • باستعمال مكاملة بالأجزاء بين أن : $J_{n+2}=\frac{n+1}{2}{J}_n-\frac{1}{2e}$ ثم احسب $J_5$

الجواب

---