المستقيم في المستوى

التمرين 1

في المستوى منسوب الى معلم

(O, \vec{i}, \vec{j})

نعتبر النقط

A (2; 4)

B (4; -1)

C (-2; -2)

D (-4; 3)

انشئ الشكل. ماهي طبيعة الرباعي ABCD ؟ علل جوابك
لتكن E نقطة من المستوى حيث ABEC متوازي الأضلاع . احسب احداثيتي النقطة E
ماذا يمكنك القول عن النقط D و C و E ؟ علل جوابك.

البداية

الجواب

التمرين 2

ليكن ABC مثلثا و

A^{'}

منتصف القطعة

[B C]

.
D و E نقطتين من المستوى بحيث

\vec{C D} = \frac{1}{3} \vec{A B}

\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{A C}

Iمنتصف القطعة

[D E]

انشئ الشكل
حدد احداثيات النقط $A, A^{'}, I$ بالنسبة للمعلم $(A, \vec{A B}, \vec{A C})$ .ثم استنتج ان النقط $A, A^{'}, I$ مستقيمية .

البداية

الجواب

التمرين 3

ليكن ABCD مربعا ,E نقطة داخل المربع و F نقطة خارج المربع بحيث ECD و BFC مثلثات متساويات الاضلاع

حدد احداثيات النقط Aو E و F بالنسبة للمعلم $(D, \vec{D C}, \vec{D A})$
استنتج ان النقط Aو E و F مستقيمية.

البداية

الجواب

التمرين 4

في االمستوى منسوب الى معلم

(O, \vec{i}, \vec{j})

نعتبر النقط

A (2; 3)

B (- 1; - 2)

حدد معادلة للمستقيم $(A B)$
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم $(D)$ الموازي ل $(O, \vec{i})$ و المار من A
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم $(D^{'})$ الموازي ل $(O, \vec{j})$ و المار من B
احسب احداثيتي النقطة C تقاطع المستقيمين $(D)$ و $(D^{'})$

البداية

الجواب

التمرين 5

في المستوى المنسوب الى المعلم

(O, \vec{i}, \vec{j})

نعتبر النقط

A (1; 2); B (2; 3); C (3; 1)

احسب احداثيات $\vec{A B}$ و $\vec{A C}$ ثم بين أنهما غير مستقيميتين
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم $(D)$ المار من A و الموازي للمستقيم $(B C)$
حدد معادلة ديكارتية للمستقيم $(Δ)$ المار من النقطة C و الموجه بالمتجهة $\vec{A B}$
حدد احداثيات النقطة E تقاطع $(D)$ و $(Δ)$
ما هي طبيعة الرباعي ABCE ؟ علل جوابك.

البداية

الجواب

التمرين 6

في المستوى المنسوب الى المعلم

(O, \vec{i}, \vec{j})

نعتبر المستقيم

(Δ)

المار من النقطتين

A (2; 4)

B (- 2,1)

اكتب تمثيلا بارامتريا للمستقيم $(Δ)$
هل النقطة $E (3; 5)$ تنتمي الى المستقيم $(Δ)$ ؟ علل جوابك.
حدد نقطتي تقاطع المستقيم $(Δ)$ مع محوري المعلم .

البداية

الجواب

التمرين 7

المستوى منسوب الى معلم

(O, \vec{i}, \vec{j})

اكتب تمثيلا بارامتريا للمستقيم $(Δ)$ الذي معادلته الديكارتية هي : $x - 5 y + 3 = 0$
اكتب معادلة ديكارتية للمستقيم $(D) : {\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 5 + 3 t \end{cases} (t \in ℝ)$
ادرس تقاطع المستقيمين $(D)$ و $(Δ)$

البداية

الجواب

التمرين 8

المستوى منسوب الى معلم

(O, \vec{i}, \vec{j})

. ادرس الوضع النسبي للمستقيمين

(D)

(Δ)

في الحالات التالية:

$\begin{array}{l} (Δ) : - 4 x + 6 y + 3 = 0 \\ (D) : 2 x - 3 y + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} (Δ) : 4 x - 2 y - 6 = 0 \\ (D) : 6 x - 3 y - 9 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} (Δ) : 4 x + 2 y + 7 = 0 \\ (D) : {\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 + 2 t \end{cases} (t \in ℝ) \end{array}$

$\begin{array}{l} (Δ) : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 - t \end{cases} (t \in ℝ) \\ (D) : {\begin{cases} x = - 1 - 2 s \\ y = 4 + 2 s \end{cases} (s \in ℝ) \end{array}$

$\begin{array}{l} (Δ) : 4 x - y - 3 = 0 \\ (D) : {\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 5 + 4 t \end{cases} (t \in ℝ) \end{array}$

$\begin{array}{l} (Δ) : {\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 2 + 5 t \end{cases} (t \in ℝ) \\ (D) : {\begin{cases} x = \frac{4}{3} - 3 k \\ y = 7 k + \frac{5}{3} \end{cases} (k \in ℝ) \end{array}$

البداية

الجواب

جواب التمرين 1

تذكير
A و B و C و D نقط غير مستقيمية .

A B C D

متوازي الأضلاع يكافئ

\vec{A B} = \vec{D C}

لدينا $\vec{A B} (4 - 2; - 1 - 4)$ أي $\vec{A B} (2; - 5)$ و $\vec{D C} (- 2 + 4; - 2 - 3)$ أي $\vec{D C} (2; - 5)$
بما أن $\vec{A B} = \vec{D C}$ فإن َABCD متوازي الأضلاع.
لتكن $E (x; y)$ . لدينا $\vec{A B} (2; - 5)$ و $\vec{C E} (x + 2; y + 2)$ .
بما أن َABEC متوازي الأضلاع فإن $\vec{A B} = \vec{C E}$ أي ${\begin{cases} x + 2 = 2 \\ y + 2 = - 5 \end{cases}$ يكافئ ${\begin{cases} x = 0 \\ y = - 7 \end{cases}$ إذن $E (0; - 7)$
نعلم أن $\vec{D C} (2; - 5)$ و $\vec{C E} (2; - 5)$ .
بما أن $\vec{C E} = \vec{D C}$ فإن $\vec{C E}$ و $\vec{D C}$ متجهتان مستقيميتان أي : النقط D و C و E مستقيمية.

التمرين

جواب التمرين 2

تذكير

[A B]

قطعة منتصفها I و M نقطة من المستوى.
لدينا

\vec{M I} = \frac{1}{2} (\vec{M A} + \vec{M B})

لدينا :

$= \frac{1}{2} (\vec{A E} + \vec{A D})$	$\vec{A I}$
$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{B E} + \vec{A C} + \vec{C D})$
$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B})$
$= \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

إذن

I (\frac{2}{3}; \frac{2}{3})

لدينا

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$	$\vec{A A^{'}}$
$= \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

إذن

A^{'} (\frac{1}{2}; \frac{1}{2})

بما أن A أصل المعلم

(A, \vec{A B}, \vec{A C})

فإن

A (0; 0)

استنتاج
لدينا

\vec{A I} (\frac{2}{3}; \frac{2}{3})

\vec{A A^{'}} (\frac{1}{2}; \frac{1}{2})

بما ان

$= \| \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \end{matrix} \|$	$\det (\vec{A A^{'}}, \vec{A I})$
$= \frac{2}{6} - \frac{2}{6} = 0$

فإن

\vec{A I}

\vec{A A^{'}}

مستقيميتان أي I و A و

A^{'}

نقط مستقيمية.

التمرين

جواب التمرين 3

احداثيات A
بما أن المستوى منسوب الى المعلم $(D, \vec{D C}, \vec{D A})$ فإن $A (0,1)$

احداثيات E
ليكن I و J منتصفي $[D C]$ و $[A D]$ على التوالي .
نعلم أن $I (\frac{1}{2}; 0)$ و $J (0; \frac{1}{2})$ بالنسبة للأساس $(\vec{D C}, \vec{D A})$ . وبما أن DEC متساوي الاضلاع فإن المستقيم $(E I)$ هو واسط القطعة $[D C]$ ، إذن $(E I) / / (D A)$ وعليه فإن E و I لهما نفس الأفصول $\frac{1}{2}$ إذن $E (\frac{1}{2}; y)$ زائد أن $D C = D E$ أي $1 = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ يكافئ $y^{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ أي $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ وبما أن E داخل المربع ABCD فإن $0 ≺ y ≺ 1$ أي $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $E (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

احداثيات F

بنفس التحليل السابق نثبت F و J لهما نفس الأرتوب أي $F (x, \frac{1}{2})$ و بما أن $B C = C F$ فإن $1 = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$ يكافئ $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ يكافئ $x = \frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ أو $x = \frac{- \sqrt{3} + 2}{2}$ و بما أن F خارج المربع فإن $x ≻ 1$ أي $x = \frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ إذن $F (\frac{\sqrt{3} + 2}{2}, \frac{1}{2})$
من أجل ذلك يكفي أن تثبت استقامية متجهتين

التمرين

جواب التمرين 4

التمرين

جواب التمرين 5

التمرين

sajid@madariss.fr