المجموعة $\mathbb{N}$ ومبادئ في الحسابيات

الاعداد الزوجية و الاعداد الفردية

أنشطة
1. اجب ب صحيح او خطأ
   • عدد صحيح طبيعي زوجي هو عدد قابل للقسمة على2جواب
   • عدد صحيح طبيعي زوجي هو عدد مضاعف ل4جواب
   • عدد صحيح طبيعي زوجي هو عدد قابل للقسمة على8جواب
   • عدد صحيح طبيعي زوجي هو عدد مضاعف ل2جواب
   • عدد صحيح طبيعي زوجي هو عدد يكتب على شكل 2k+1 مع k عدد صحيح طبيعيجواب
   • عدد صحيح طبيعي زوجي هو عدد يكتب على شكل 2k مع k عدد صحيح طبيعيجواب
   • عددان صحيحان طبيعيان متتابعان لهما زوجية مختلفةجواب
2. علل ما يلي
   • زوجي $\to$ زوجي + زوجي
     ارشاد
     $2k+2k^{\text{'}}=2\left(k+k^{\text{'}}\right)$
   • زوجي $\to$فردي + فردي
     ارشاد
     $\left(2k+1\right)+\left(2k^{\text{'}}+1\right)=2\left(k+k^{\text{'}}+1\right)$
   • فردي $\to$زوجي + فردي
     ارشاد
     $2k+\left(2k^{\text{'}}+1\right)=2\left(k+k^{\text{'}}\right)+1$
   • $n+(n+1)\left(n\in \mathbb{N}\right)$ عدد فردي
     ارشاد
     لاحظ انnوn+1لهما زوجية مختلفة
3. علل ما يلي
   • زوجي $\to$زوجي $\times$ زوجي
     ارشاد
     $2k\times 2k^{\text{'}}=2\left(2k{k}^{\text{'}}\right)$
   • فردي $\to$فردي $\times$فردي
     ارشاد
     $\left(2k+1\right)\times \left(2k^{\text{'}}+1\right)=2\left(2k{k}^{\text{'}}+k+k^{\text{'}}\right)+1$
   • زوجي $\to$فردي $\times$ زوجي
     ارشاد
     $2k\times \left(2k^{\text{'}}+1\right)=2\left(2k{k}^{\text{'}}+k\right)$
   • $n\times (n+1)\left(n\in \mathbb{N}\right)$ عدد زوجي
     ارشاد
     لاحظ انnوn+1متتابعان
4. خلاصة
   1. كل عدد صحيح طبيعيa يكتب على شكل a=2n حيثnينتمي الى$\mathbb{N}$ يسمى عددا زوجيا
   2. كل عدد صحيح طبيعيa يكتب على شكل a=2n+1 حيثnينتمي ال $\mathbb{N}$ يسمى عددا فرديا
5. تمرين تطبيقي
   
   ليكنnعنصرا من $\mathbb{N}$
   نضع $\begin{array}{l}x=3n+7\\ y=2(n+1)+3\end{array}$
   ادرس زوجية العددينxوy
   ارشاد
   

   • بالنسبة للعددxهناك حالتان حسب زوجيةnلان3فردي
   • بالنسبة للعددyهناك حالة واحدة لان2زوجي

البداية

مضاعفات و قواسم عدد

1. تعريف
   a و bعددين صحيحين طبيعيين , bغير منعدم نقول ان bيقسم a او bقاسم للعددa اوa مضاعف للعدد bاذا وجد عدد صحيح طبيعيqحيث a=bq
2. مصاديق قابلية القسمة
   
   ليكنnعددا صحيحا طبيعيا
   • n قابل للقسمة على2ادكان ينتهي ب 0,2,4,6,8
   • n قابل للقسمة على 3اذا كان مجموع ارقامه قابل للقسمة على 3
   • n قابل للقسمة على4 اذا كان العدد المكون من رقميه الاخيرين قابل للقسمة على4
   • n قابل للقسمة على 5 اذا كان ينتهى ب 0 أو 5
   • n قابل للقسمة على 6 اذا كان قابلا للقسمة على2و3في ان واحد
   • نضع $n=\overline{a_n{a}_{n-1}\mathrm{...........}{a}_1{a}_0}$
     اذا كان $\overline{a_n{a}_{n-1}\mathrm{.........}{a}_1}-2a_0$ قابل للقسمة على 7 فان العددnقابل للقسمة على 7
     

     مثال 1	مثال2
     $\begin{array}{l}91\\ 9-(2\times 1)=7\\ \end{array}$	$\begin{array}{l}17381\\ 1738-(2\times 1)=1736\\ 173-(2\times 6)=161\\ 16-(2\times 1)=14\end{array}$

   • قابلية القسمة على 11
     • نحسب المجموع A للارقام في الوضعية الفردية
     • نحسب المجموع B للارقام في الوضعية الزوجية
     • العددnيكون قابلا للقسمة على 11 ادا كان A-B او B-A قابلا للقسمة على 11
3. تمرين تطبيقي
   1. حدد الرقمxلكي يكون العدد 53x2 قابلا للقسمة على 9
   2. حدد الرقمyلكي يكون العدد 532y قابلا للقسمة على2و 9 في ان واحد
   3. حدد قواسم العدد 120
   4. حدد مضاعفات 9 المحصورة بين 23 و 59
   ارشاد
   
   1. مجموع الارقام قابل للقسمة على 9 زائدxاصغر من او تساوي 9
   2. مجموع الارقام قابل للقسمة على 9 زائدyزوجي و اصغر من او يساوي9
   3. لاحظ ان $120=2^3\times 3\times 5$
      انشر ما يلي دون حساب المجاميع $\left(2^0+2^1+2^2+2^3\right)\left(3^0+3^1\right)\left(5^0+5^1\right)$
      ما ذا تمثل حدود المجموع الاخير
   4. حددnحيث $9\times 2\langle 23\le 9\times n\le 59\langle 9\times 7$
4. مبرهنة
   ليكن P عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم $\left(a,b\right)\in {\mathbb{N}}^2$
   • اذا كان P يقسمa و يقسم bفانه يقسم المجموعa+b
   • اذا كان P يقسمa و يقسمa+bفانه يقسم b
   • اذا كان P يقسمa فانه يقسم الجداءab

البداية

الاعداد الاولية

1. نشاط
   1. استخرج قواسم الاعداد 13 و 5 و 7
   2. اكتب 18على شكل جداء عوامله اولية
2. تعريف
   
   عدد اولي هو كل عدد صحيح طبيعيa يقبل قاسمين فقط هما العدد 1 و العدد a
3. خاصية
   كل عدد صحيح طبيعيnاكبر من او يساوي2اما عدد اولي او جداء عوامل اولية
4. تمرين تطبيقي
   1. حدد الاعداد الاولية من بين الاعداد الاتية
      105;119;117;113;111;107
   2. بسط الكسور التالية باستعمال التفكيك الى جداء عوامل اولية
      $\frac{575}{1275};\frac{891}{276};\frac{1575}{2925};\frac{235}{30};\frac{186}{201};\frac{48}{75}$
5. تعرف عن الاعداد الاولية الاصغر من او تساوي N
   المرجو عدم تجاوز العدد 1000
   N
   
6. اضافة
   • مربع كامل
     كل عدد صحيح طبيعي يساوي مجموع قواسمه الموجبة ما عدا نفسه
     يسمى مربعا كاملا
     
     مثال $\begin{array}{l}6=1+2+3\\ 28=1+2+4+7+14\end{array}$

البداية

تفكيك عدد الى عوامل اولية

1. تعريف
   ليكنa عددا صحيحا طبيعيا غير اولي
   كتابةa على شكل جداء عوامل اوليةتسمى التفكيك الى جداء عوامل اولية للعددa
2. مثالفكك الاعداد التالية 16 144 96 1818 684
3. فكك عدد الى جداء عوامل اولية
   
   N
   

البداية

المضاعف المشترك الاصغر و القاسم المشترك الاكبر لعددين

1. المضاعف المشترك الاصغر
   • تعريف
     
     ليكنa و bعنصرين من IN
     اصغرمضاعف مشترك غير منعدم للعددينa و bيسمى
     المضاعف المشترك الاصغرللعددينa و b
     يرمز له ب $\begin{array}{l}M(a;b)\\ PPCM(a;b)\end{array}$
   • مثال$PPCM(36;24)=72$
   • خاصية
     المضاعف المشترك الاصغر لعددين هو جداء العوامل الاولية
     المشتركة و غير المشتركة بين تفكيكي هذين العددين الى جداء عوامل اولية مرفوعة الى اكبر أس
   • مثال $\begin{array}{l}72=2^3\times 3^2\\ 108=3^3\times 2^2\\ M(72;108)=2^3\times 3^3=216\end{array}$
2. القاسم المشترك الاكبر
   • تعريف
     ليكنa و bعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
     اكبر قاسم مشترك للعددينa و bيسمى القاسم المشترك الاكبر
     للعددينa و bو يرمز له ب $\begin{array}{l}\Delta (a;b)\\ PGCD(a;b)\end{array}$
   • مثال $\Delta (18;12)=6$
   • خاصية
     القاسم المشترك الاكبر لعددين هو جداء العوامل الاولية
     المشتركة بين تفكيكي هذين العددين الى جداء عوامل
     اولية مرفوعة الى اصغر أس
   • مثال $\begin{array}{l}42=2\times 3\times 7\\ 45=3^2\times 5\\ \Delta (42;45)=3\end{array}$

3. انقر هنالحساب القاسم المشترك الاكبر لعددين

4. خاصيات
   $\left(a\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\left(b\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$
   1. $\begin{array}{l}PGCD\left(a;a\right)=a\\ PGCD\left(a;1\right)=1\\ PGCD\left(a;b;c\right)=PGCD\left(PGCD\left(a;b\right);c\right)\\ PGCD\left(a;b\right)\times PPCM\left(a;b\right)=a\times b\\ \end{array}$
   2. اذا كانa قاسما للعدد bفان $PGCD\left(a;b\right)=a$

البداية

تمارين