1. • مهما كان n من IN فإن n و n+1 لهما زوجية مختلفة إذن $n+\left(n+1\right)$ عدد فردي.
     n زوجي : أي n+2 زوجي و بالتالي فإن $n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)$ فردي.
     n فردي : أي n+2 فردي و بالتالي $n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)$ زوجي.
   • n زوجي :
     يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ حيث $n=2k$ :

     $=2k\times \left(2k+1\right)\times (2k+2)$	$n\times (n+1)\times (n+2)$
     $=2\left[k\times (2k+1)\times (2k+2)\right]$
     $=2K$

     مع $K=k\times (2k+1)\times (2k+2)\in \mathbb{N}$
     إذن زوجي .
     n فردي :
     يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ حيث $n=2k+1$

     $=\left(2k+1\right)\times (2k+2)\times (2k+3)$	$n\times (n+1)\times (n+2)$
     $=\left(2k+1\right)\times 2(k+1)\times (2k+3)$
     $=2\left[\left(2k+1\right)(k+1)\times (2k+3)\right]$
     $=2K$

     مع $K=\left(2k+1\right)(k+1)\times (2k+3)\in \mathbb{N}$
     إذن زوجي
2. • نعم
   • $3$ فردي و كذلك $3^2=9;3^3=27$
     $2$ زوجي و كذلك $2^3=8;2^4=16$

1. بما أن $\left(m-n\right)+\left(m+n\right)=2m$ فإنه عدد زوجي و بالتالي فإن للحدين $m-n$ و $m+n$ نفس الزوجية.
2. $D_{36}=\left\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\right\}$
3. لكل $m$ و $n$ من $\mathbb{N}$ لدينا : $m^2-n^2=36$ تكافئ $(m-n)(m+n)=36$ أي $m+n$ و $m-n$ قاسمين للعدد $36$ ، و بما أن ل $m$ و $n$ نفس الزوجية و مختلفين فإن الحالات الممكنة هي : $\{\begin{array}{c}m+n=18\\ m-n=2\end{array}$ أي $\{\begin{array}{l}m=10\\ n=8\end{array}$
   $\{\begin{array}{c}m+n=6\\ m-n=6\end{array}$ أي $\{\begin{array}{l}m=6\\ n=0\end{array}$

البداية

1. لكل $n$ من $\mathbb{N}$ :

   $=n^2+2n+1-n^2$	${\left(n+1\right)}^2-n^2$
   $=2n+1$

   عدد فردي
2. نتيجة السؤال الأول
3. 
   

   $=2(19)+1$	$39$
   $={\left(19+1\right)}^2-{19}^2$
   $={20}^2-{19}^2$

   
   

   $=2(15)+1$	$31$
   $={\left(15+1\right)}^2-{15}^2$
   $={16}^2-{15}^2$

   
   

البداية

• نعلم أن $n$ و $n^2$ لهما نفس الزوجية .
  -إذا كان $n$ زوجي فإن $n^2\times n$ زوجي
  -إذا كان $n$ فردي فإن $n^2\times n$ فردي
• $4n^2+4n+1={\left(2n+1\right)}^2$
  بما أن $2n+1$ فردي فإن ${\left(2n+1\right)}^2$ فردي
• $2n^2+7=2\left(n^2+3\right)+1$ فرديى.
• $2n+8=2\left(n+4\right)$ زوجي .
• $4n^2+1=2\left(2n^2\right)+1$ فردي .
• 
  

  $=1+n^2+2n+1+n^2+4n+4$	$1+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2$
  $=2n^2+6n+6$
  $=2\left(n^2+3n+3\right)$

  زوجي .
• - $n=2k$
  

  $=4k^2+14k+1$	$n^2+7n+1$
  $=2\left(2k^2+7k\right)+1$

  فردي .
  - $n=2k+1$
  

  $={\left(2k+1\right)}^2+7\left(2k+1\right)+1$	$n^2+7n+1$
  $=4k^2+4k+1+14k+7+1$
  $=4k^2+18k+8+1$
  $=2\left(2k^2+9k+4\right)+1$

  فردي .

البداية

1. • $n$ فردي أي يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ حيث $n=2k+1$ و منه فإن

     $={\left(2k+1\right)}^2-1$	$n^2-1$
     $=4k^2+4k+1-1$
     $=4\left(k^2+k\right)$

     
     نعلم أن $k$ و $k^2$ لهما نفس الزوجية إذن $k^2+k$ عدد زوجي أي يوجد عددصحيح طبيعي $k^{\text{'}}$ حيث $k^2+k=2k^{\text{'}}$ و عليه فإن $n^2-1=8k^{\text{'}}$ أي $8$ يقسم العدد $n^2-1$
   • $n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$
     - تبعا للسؤال السابق يوجد عدد صحيح طبيعي $k^{\text{'}}$ حيث $n^2-1=8k^{\text{'}}$
     -بما أن $n$ فردي فإن $n^2$ فردي مما يقودنا الى أن $n^2+1$ عدد زوجي أي يوجد عدد صحيح طبيعي $k^{"}$ حيث $n^2+1=2k^{"}$ و عليه فإن :

     $=8k^{\text{'}}\times 2k^{"}$	$n^4-1$
     $=16k^{\text{'}}{k}^{"}$

     أي $16$ يقسم $n^4-1$
2. نفس التحليل

البداية

1. • القيم التي يأخدها باقي قسمة $n$ على $5$ هي : $4;3;2;1$
   • تبعا للسؤال الأول ، لكل عدد صحيح طبيعي $n$ غير قابل للقسمة على $5$ يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ حيث $n=5k+1$ أو $n=5k+2$ أو $n=5k+3$ أو $n=5k+4$ .نرفع هذه المتساويات الى الأس $2$ فنحصل على : $n^2=5\left(5k^2+2k\right)+1$ أو $n^2=5\left(5k^2+4k\right)+4$ أو $n^2=5\left(5k^2+6k+1\right)+4$ أو $n^2=5\left(5k^2+8k+3\right)+1$ مما يقودنا الى أن القيم التي يأخدها باقي قسمة $n^2$ على $5$ هي : $4;1$
   • تبعا للسؤال السابق ، لكل عدد صحيح طبيعي $n$ غير قابل للقسمة على $5$ يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ حيث $n^2=5k+1$ أو $n^2=5k+4$ أي $n^2-1=5k$ أو $n^2+1=5\left(k+1\right)$ أي $5$ يقسم $n^2-1$ أو $n^2+1$ وكذلك $n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$
2. $n^5-n=n\left(n^4-1\right)$
   بما أن $5$ يقسم $n^4-1$ فإن $5$ يقسم $n\left(n^4-1\right)$ أي يقسم $n^5-n$

البداية

1. ${\left({10}^6-1\right)}^3={10}^{18}-{3.10}^{12}+{3.10}^6-1$
2. 
   

   $={\left({10}^6-1\right)}^3$	${\left(999999\right)}^3$
   $={10}^{18}-{3.10}^{12}+{3.10}^6-1$
   $=5\left({2.10}^{17}-{6.10}^{11}+{6.10}^5\right)-5+4$
   $=5\left({2.10}^{17}-{6.10}^{11}+{6.10}^5-1\right)+4$

   ما هو الباقي في رأيك؟

البداية

1. $D_{15}=\left\{1;3;5;15\right\}$
2. من المتساوية $\left(x+3\right)\left(y+2\right)=15$ نستنتج أن $x+3$ و $y+2$ قواسم للعدد $15$ إذن الحالات الممكنة هي : $\{\begin{array}{l}x+3=3\\ y+2=5\end{array}$ أو $\{\begin{array}{l}x+3=5\\ y+2=3\end{array}$ أي $S=\left\{\left(0;3\right);\left(2;1\right)\right\}$
3. لكل $x$ و $y$ من $\mathbb{N}$ المتساوية $xy+3x+y=12$ تكافئ $\left(x+1\right)\left(y+3\right)=15$ .... نفس التحليل بالنسبة للسؤال السابق.

البداية

1. لكل $x$ من $\mathbb{N}$ :
   $x^2+8x-56$ مربع كامل يعني يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ حيث $\left(1\right):x^2+8x-56=k^2$
   $\left(1\right)$ تكافئ ${\left(x+4\right)}^2-k^2=72$ تكافئ $\left(x+4-k\right)\left(x+4+k\right)=72$ إذن $x+4+k$ و $x+4-k$ قواسم للعدد $72$.
   لاحظ أن $x+4+k$ و $x+4-k$ لهما نفس الزوجية لأن مجموعهما عدد زوجي يساوي $2\left(x+4\right)$ .
   بما أن $D_{72}=\left\{1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72\right\}$ فإن الحالات الممكنة هي : $\left(x=15\right)\{\begin{array}{l}x+4+k=36\\ x+4-k=2\end{array}$ أو $\left(x=7\right)\{\begin{array}{l}x+4+k=18\\ x+4-k=4\end{array}$ أو $\left(x=5\right)\{\begin{array}{l}x+4+k=12\\ x+4-k=6\end{array}$
2. • بما أن $3$ يقسم العدد $\overline{27x85y}$ فإن $3$ يقسم العدد $22+\left(x+y\right)$
     نعلم أن $x,y\in \left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$ إذن $x+y=5$ أو $x+y=8$ أو $x+y=11$ أو $x+y=14$ أو $x+y=17$ .
   • بما أن $11$ يقسم $\overline{27x85y}$ فإن $11$ يقسم $\left(y-x\right)+8$
     نعلم أن $-9\le y-x\le 9$ إذن $y-x=-8$ أو $y-x=3$
   • لاحظ أن $y+x$ و $y-x$ لهما زوجية مختلفة لأن مجموعهما عدد زوجي. إذن الحالات الممكنة هي : $\{\begin{array}{l}y-x=-8\\ y+x=8\end{array}$ أو $\{\begin{array}{l}y-x=3\\ y+x=5\end{array}$ أو $\{\begin{array}{l}y-x=3\\ y+x=11\end{array}$ أي $\{\begin{array}{l}x=8\\ y=0\end{array}$ أو $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}$ أو $\{\begin{array}{l}x=4\\ y=7\end{array}$

البداية

1. لدينا : $x^2+3=\left(x-3\right)\left(x+3\right)+12$
   بما أن $x-3$ يقسم الحد $\left(x-3\right)\left(x+3\right)$ و المجموع $x^2+3$ فإن $x-3$ يقسم الحد $12$.
   نعلم أن $D_{12}=\left\{1;2;3;\mathrm{4,6};12\right\}$ إذن $x-3=1$ أو $x-3=2$ أو $x-3=3$ أو $x-3=4$ أو $x-3=6$ أو $x-3=12$ أتمم ....
2. نفس التحليل مع $x+5=\left(x-2\right)+7$
3. نفس التحليل مع $x^2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1$
4. نفس التحليل مع $x^3+2=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+1$

البداية