مجموعات الاعداد

نشاط

علل لماذا 1,52 عدد عشري
علل لماذا $\frac{4}{3}$ ليس عددا عشريا مستعملا قسمة 4 على 3
- احسب 100a ثم عبر عن 100a - a بطريقتين
- استنتج ان a عدد جذري
1. اثبت ان احد العددين a او b فردي
2. اثبت انa عدد زوجي
3. استنتج ان b زوجي
4. ما هي خلاصتك

ارشاد

الاعداد الصحيحة الطبيعية تكون مجموعة نرمز لها بالرمز $ℕ$
و نكتب $ℕ = {0; 1; 2; 3; ......}$
مثال $1293 \in ℕ; - 15 \notin ℕ$

الاعداد الصحيحة النسبية اي الاعداد الصحيحة الطبيعية و مقابلاتها تكون مجموعة
نرمز لها بالرمز $ℤ$ و نكتب $ℤ = {....; - 2; - 1; 0; 1; 2; ........}$
مثال $12 \in ℤ; - 1293 \in ℤ; 3,4 \notin ℤ$

الاعداد العشريةهي الاعداد التي تكتب على الشكل $\frac{a}{10^{n}}$ حيث $a \in ℤ; n \in ℕ$ وتكون مجموعة نرمز لها بالرمز D و نكتب $D = {\frac{a}{10^{n}} / a \in ℤ; n \in ℕ}$
مثال $12 \in D; - 1293 \in D; 2,34 \in D; 0,18181818..... \notin D$

الاعداد الجذرية هي الاعداد التي تكتب على الشكل $\frac{a}{b}$ حيث $a \in ℤ; b \in ℤ^{*}$
و تكون مجموعة نرمز لها بالرمز $ℚ$ و نكتب $ℚ = {\frac{a}{b} / a \in ℤ; b \in ℤ^{*}}$ مثال $\frac{3}{7} \in ℚ; \sqrt{2} \notin ℚ; π \notin ℚ$

الاعداد الجذرية و اللا جذرية تكون مجموعة هي مجموعة الاعداد الحقيقية
نرمز لها بالرمز $ℝ$

- تبادلي $a + b = b + a$
- تجميعي $a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b = a + b + c$
- العنصر المحايد $a + 0 = 0 + a = a$
- المقابل $(- a) + a = a + (- a) = 0$
- تبادلي $a \times b = b \times a$
- تجميعي $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c = (a \times c) \times b = a \times b \times c$
- العنصر المحايد $1 \times a = a \times 1 = a$
- المقلوب $(a \neq 0) [a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1]$
- الضرب توزيعي على الجمع $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$
الجذور المربعة
- ليكن a عددا حقيقيا موجبا
  جذر مربع العدد a هو العدد الحقيقي الموجب y الذي مربعه يساوي a
  $y = \sqrt{a}$ تكافئ $y^{2} = a$
- خاصيات
  - $(a \in ℝ) [\sqrt{a^{2}} = | a |]$
  - $(a \in ℝ^{+}) (b \in ℝ^{+}) [\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}]$
  - $(a \in ℝ^{+}) (b \in ℝ^{* +}) [\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}]$

نشاط

احسب الاعداد التالية مبرزا الخاصيات التي استعملتها
${(- \frac{1}{7})}^{2} \times {(\frac{2}{5})}^{6} \times {(- \frac{5}{2})}^{4}; \frac{16^{3} \times 9^{4} \times 7^{6}}{2^{11} \times 3^{5} \times 49^{3}}$
تعريف

ليكن a عددا حقيقيا و n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم
$a^{n} = a \times a \times a \times .......... \times a$ جداء n عاملا
$(a \neq 0) [a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}]$
العدد $a^{n}$ يسمى قوةالعدد a ذات الاس n
العدد $a^{- n}$ يسمى قوةالعدد a ذات الاس n-
العمليات على القوى
- $a^{n} \times b^{n} = {(a \times b)}^{n}$
- $a^{n} \times a^{m} = a^{n + m}$
- ${(a^{n})}^{m} = {(a^{m})}^{n} = a^{n \times m}$
- $\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$
- $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$
قوة العدد 10
امثلة $10^{4} = {10000,10}^{- 6} = 0,000001$
الاس يشير ايضا الى عدد الاصفار في الكتابة
الكتابة العلمية
كل عدد عشري x موجب يكتب على الشكل $x = a \times 10^{p}$
حيث p عدد صحيح نسبي و a عدد عشري يحقق $1 \leq a 〈 10$
هذه الكتابة تسمى الكتابة العلمية للعدد x
ملحوظة
اذا كانx عددا سالبا فان كتابته العلمية هي $x = - a \times 10^{p}$

نشاط
عمل التعابير التالية
$\begin{array}{l} 4 x^{2} - 20 x + 25 \\ 16 - 9 x^{2} \\ {(2 x + 1)}^{2} - 25 \\ {(x + 6)}^{2} - {(3 x - 1)}^{2} \\ (x - 3) (x + 1) - (x^{2} - 9) \\ {(x + 3)}^{2} + (x + 3) (x + 1) + x^{2} - 9 \end{array}$
متطابقات هامة
- ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
- ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
- $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
- ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
- ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
- $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$
- $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$
تمرين تطبيقي
عمل ما يلي
$a^{6} + b^{6}; 27 x^{3} - 8; x^{3} + 125 - 5 x (x + 5)$

sajid@madariss.fr