مجموعات الاعداد

العمليات في IR| القوى ــ قوى العدد 10 ــ الكتابة العلمية| متطابقات هامة ــ التعميل و النشر|
رقم التمرين 1|2| 3|4| 5|6| 7|8|

العمليات في IR

تمرين 1

بسط التعابير التالية
$\begin{array}{l} \sqrt{169}; \sqrt{625}; \sqrt{{(- 3)}^{2}}; \sqrt{288}; \sqrt{242} \\ \sqrt{\frac{7}{3}} + 4 \sqrt{\frac{63}{75}} - 2 \sqrt{\frac{28}{27}} \end{array}$
اجعل مقامات الاعداد التالية جذرية
$\frac{2}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{7} - 1}; \frac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{8}}; \frac{\sqrt{7} - 2}{7 + 2 \sqrt{7}}$
اكتب بدون استعمال رمزي الجذر مربع والقيمة المطلقة
$\sqrt{{(a^{2} + 1)}^{2}}; \sqrt{{(a - 1)}^{2}}; \sqrt{{(2 a + 1)}^{2}}; \sqrt{{(π - 3,14)}^{2}}$
بسط ما يلي
$\begin{array}{l} \sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}; \sqrt{11 + 6 \sqrt{2}}; \sqrt{8 - 2 \sqrt{15}} \\ \sqrt{21 - 6 \sqrt{6}}; \sqrt{23 + 4 \sqrt{15}}; \sqrt{29 + 6 \sqrt{6}} \end{array}$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 2

ليكن x و y عددين حقيقيين غير منعدمين و مختلفين

بين ان $\frac{- 1 + \frac{x}{x - y}}{1 + \frac{y}{x - y}} = \frac{y}{x}$
أحسب قيمة العدد E حيث $E = \frac{- 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}}{1 - \frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}}$

البداية

عناصر الإجابة

القوى وخاصياتها

تمرين 3

بسط باستعمال خاصيات القوى
$\begin{array}{l} {(5^{3})}^{- 2} \times 25^{5} \times {(\frac{1}{10})}^{- 10}; \frac{3^{4} \times 81}{9^{- 2}} \\ {(5^{- 3} \times 10^{7})}^{3}; {(\frac{4}{5})}^{- 5} \times {(\frac{25}{8})}^{- 3} \\ \frac{49 \times 7 \times {(0,001)}^{3} \times {0,6}^{2}}{12^{2} \times 100^{2} \times 25^{- 1}} \end{array}$
اعط الكتابة العلمية للاعداد التالية
$\begin{array}{l} A = - 0,5 \times 10^{5} + 0,03 \times 10^{5} - 2,75 \times 10^{5} \\ B = 7 \times 10^{- 3} + 0,8 \times 10^{- 2} - 5 \times 10^{- 4} \end{array}$

البداية

عناصر الإجابة

متطابقات هامة ــ النشر و التعميل

تمرين 4

a عدد حقيقي غير منعدم نضع

A = a + \frac{1}{a}

احسب بدلالة A ما يلي

$a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$
$a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$
$a^{4} + \frac{1}{a^{4}}$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 5

عمل التعابير التالية

$x^{3} - 8 - 4 (x - 2) + x^{2} - 2 x$
$64 x^{3} + 125 - (x^{2} + \frac{5}{4} x)$
$8 x^{4} - 27 x - 4 x^{2} (2 x - 3)$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 6

انشر و اختصر ما يلي

${(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3}$
${(a + b - c)}^{3}$
${(2 x + 3 y)}^{3}$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 7

احسب بدون الة حاسبة
$83875683470^{2} - 83875683469 \times 83875683471$
اثبت دون استعمال الالة الحاسبة
${(99.999.999)}^{2} + {(20.000)}^{2} = {(100.000.001)}^{2}$

البداية

عناصر الإجابة

تمرين 8

نعتبر العدد E حيث

E = {(x - 3)}^{2} - (x - 1) (x - 2)

انشر و بسط العدد E
استنتج دون استعمال الالة الحاسبة نتيجة
${(99.997)}^{2} - 99.999 \times 99.998$

البداية

عناصر الإجابة

التمرين 1

$= \sqrt{2 \times 11^{2}}$	$\sqrt{242}$
$= 11 \sqrt{2}$

$= \sqrt{2 \times 4^{2} \times 3^{2}}$	$\sqrt{288}$
$= 12 \sqrt{2}$

$= \| - 3 \|$	$\sqrt{{(- 3)}^{2}}$
$= 3$

$= \sqrt{25^{2}}$	$\sqrt{625}$
$= 25$

$= \sqrt{13^{2}}$	$\sqrt{169}$
$= 13$

$= \sqrt{\frac{7}{3}} + 4 \sqrt{\frac{3^{2} \times 7}{5^{2} \times 3}} - 2 \sqrt{\frac{2^{2} \times 7}{3^{2} \times 3}}$	$\sqrt{\frac{7}{3}} + 4 \sqrt{\frac{63}{75}} - 2 \sqrt{\frac{28}{27}}$
$= \sqrt{\frac{7}{3}} + \frac{12}{5} \sqrt{\frac{7}{3}} - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{7}{3}}$
$= \frac{31}{15} \sqrt{\frac{7}{3}}$

$= \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$= \frac{\sqrt{7} + 1}{(\sqrt{7} - 1) (\sqrt{7} + 1)}$	$\frac{1}{\sqrt{7} - 1}$
$= \frac{\sqrt{7} + 1}{{(\sqrt{7})}^{2} - 1^{2}}$
$= \frac{\sqrt{7} + 1}{6}$

$= \frac{2 (\sqrt{3} - \sqrt{8})}{(\sqrt{3} + \sqrt{8}) (\sqrt{3} - \sqrt{8})}$	$\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{8}}$
$= \frac{2 (\sqrt{3} - \sqrt{8})}{- 5}$

$= \frac{(\sqrt{7} - 2) (7 - 2 \sqrt{7})}{(7 + 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})}$	$\frac{\sqrt{7} - 2}{7 + 2 \sqrt{7}}$
$= \frac{(\sqrt{7} - 2) (7 - 2 \sqrt{7})}{7^{2} - {(2 \sqrt{7})}^{2}}$
$= \frac{(\sqrt{7} - 2) (7 - 2 \sqrt{7})}{49 - 28}$
$= \frac{(\sqrt{7} - 2) (7 - 2 \sqrt{7})}{21}$

$= \| a^{2} + 1 \|$	$\sqrt{{(a^{2} + 1)}^{2}}$
$= a^{2} + 1$

$= \| a - 1 \|$	$\sqrt{{(a - 1)}^{2}}$
$= {\begin{cases} a - 1; (a \geq 1) \\ 1 - a; (a \leq 1) \end{cases}$

$= \| 2 a + 1 \|$	$\sqrt{{(2 a + 1)}^{2}}$
$= {\begin{cases} 2 a + 1; (a \geq \frac{- 1}{2}) \\ - 2 a - 1, (a \leq \frac{- 1}{2}) \end{cases}$

$= \| π - 3,14 \|$	$\sqrt{{(π - 3,14)}^{2}}$
$= π - 3,14$

$= \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{2}}$	$\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}$
$= \sqrt{{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{2}}$
$= \| \sqrt{5} + \sqrt{2} \|$
$= \sqrt{5} + \sqrt{2}$

باقي الأسئلة بنفس التحليل.

البداية

التمرين

التمرين 2

$= \frac{\frac{- x + y + x}{x - y}}{\frac{x - y + y}{x - y}}$	$\frac{- 1 + \frac{x}{x - y}}{1 + \frac{y}{x - y}}$
$= \frac{y}{x - y} \times \frac{x - y}{x}$
$= \frac{y}{x}$

$= \frac{- 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}}{1 - \frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}}$	$E$
$= \frac{- 1 + \frac{1}{1 - (- \sqrt{5})}}{1 + \frac{(- \sqrt{5})}{1 - (- \sqrt{5})}}$
$= \frac{- \sqrt{5}}{1}$
$= - \sqrt{5}$

البداية

التمرين

التمرين 3
في متناول الجميع

البداية

التمرين

التمرين 4

لدينا :

$= {(a + \frac{1}{a})}^{2}$	$A^{2}$
$= a^{2} + 2 \times a \times \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}}$
$= (a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) + 2$

و عليه

a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = A^{2} - 2

لدينا

$= {(a + \frac{1}{a})}^{3}$	$A^{3}$
$= a^{3} + 3 \times a^{2} \times \frac{1}{a} + 3 \times a \times \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{3}}$
$= (a^{3} + \frac{1}{a^{3}}) + 3 (a + \frac{1}{a})$
$= (a^{3} + \frac{1}{a^{3}}) + 3 A$

و عليه فإن

(a^{3} + \frac{1}{a^{3}}) = A^{3} - 3 A

$= {(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})}^{2} - 2$	$a^{4} + \frac{1}{a^{4}}$
$= {(A^{2} - 2)}^{2} - 2$
$= A^{4} - 4 A^{2} + 4 - 2$
$= A^{4} - 4 A^{2} + 2$

البداية

التمرين

التمرين 5

$= (x^{3} - 2^{3}) - 4 (x - 2) + x (x - 2)$	$x^{3} - 8 - 4 (x - 2) + x^{2} - 2 x$
$= (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) - 4 (x - 2) + x (x - 2)$
$= (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4 - 4 + x)$
$= (x - 2) (x^{2} + 3 x)$
$= x (x - 2) (x + 3)$

$= {(4 x)}^{3} + 5^{3} - \frac{x}{4} (4 x + 5)$	$64 x^{3} + 125 - (x^{2} + \frac{5}{4} x)$
$= (4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) - \frac{x}{4} (4 x + 5)$
$= (4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25 - \frac{x}{4})$
$= (4 x + 5) (16 x^{2} - \frac{81}{4} x + 25)$

$= x ({(2 x)}^{3} - 3^{3}) - 4 x^{2} (2 x - 3)$	$8 x^{4} - 27 x - 4 x^{2} (2 x - 3)$
$= x (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9) - 4 x^{2} (2 x - 3)$
$= x (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9 - 4 x)$
$= x (2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x + 9)$

البداية

التمرين

التمرين 6
استعمل المتطابقات الهامة :

\begin{array}{l} a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) \\ a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) \\ {(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} \\ {(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} \end{array}

البداية

التمرين

التمرين 7

نضع

a = 83875683470

$= a^{2} - (a - 1) (a + 1)$	$83875683470^{2} - 83875683469 \times 83875683471$
$= a^{2} - (a^{2} - 1)$
$= a^{2} - a^{2} + 1$
$= 1$

نضع

a = 10^{8}

$= {(a + 1)}^{2} - {(a - 1)}^{2}$	${(100.000.001)}^{2} - {(99.999.999)}^{2}$
$= ((a + 1) - (a - 1)) ((a + 1) + (a - 1))$
$= (2) (2 a)$
$= {(2 \times 10^{4})}^{2}$

البداية

التمرين

التمرين 8

البداية

التمرين

sajid@madariss.fr