الترتيب في المجموعة IR

رقم التمرين 1|2| 3|4| 5|

التمرين 1

اثبت أنه لكل عدد حقيقي يخالف $- 1$ لدينا $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + \frac{x^{2}}{1 + x}$
- $0 \leq x^{2} \leq \frac{1}{4}$
- $\frac{2}{3} \leq \frac{1}{1 + x} \leq 2$
- $0 \leq \frac{x^{2}}{1 + x} \leq 2 x^{2}$
استنتج من السؤالين السابقين أن :
لكل $x$ من المجال $[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ العدد $(1 - x)$ قيمة مقربة بتفريط للعدد $\frac{1}{1 + x}$ الى $2 x^{2}$
اعط باستعمال هذه الطريقة قيم مقربة للاعداد التالية محددا الخطأ: $\frac{1}{1,004}; \frac{1}{1,00001}; \frac{1}{0,9995}$

ليكنaوbعددين حقيقين موجبين قطعا و مختلفين

بين ان : $\frac{1}{a b} - \frac{2}{(a^{2} + b^{2})} = \frac{{(a - b)}^{2}}{a b (a^{2} + b^{2})}$
بين أن : $\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a^{2} b^{2}} - \frac{1}{a b} = \frac{{(a - b)}^{2}}{2 a^{2} b^{2}}$
استنتج أن : $\frac{2}{a^{2} + b^{2}} 〈 \frac{1}{a b} 〈 \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a^{2} b^{2}}$
باستعمال ما سبق اثبت ان : $\frac{2}{5} 〈 \frac{1}{\sqrt{6}} 〈 \frac{5}{12}$

ليكن

x

عددا حقيقيا موجبا قطعا
نضع

C = \frac{x^{2}}{8} + \sqrt{1 + x}; B = 1 + \frac{x}{2}; A = \sqrt{1 + x}

اثبت ان $C 〉 1; B 〉 1; A 〉 1$
قارن بين $B^{2}; A^{2}$ ثم استنتج ان $\sqrt{1 + x} 〈 1 + \frac{x}{2}$
- اثبت $C^{2} - B^{2} = \frac{x^{2}}{4} (\sqrt{1 + x} + \frac{x^{2}}{16} - 1)$
- قارن بين $B^{2}$ و $C^{2}$
- استنتج أن $1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} 〈 \sqrt{1 + x}$
- اعط تأطيرا للعدد $\sqrt{1,0002}$ وقيمة مقربة للعدد $\sqrt{1,0000001}$ بالدقة $10^{- 14}$

ليكن

x

y

عددين حقيقيين موجبين .

انشر الجداء $(x + y + \sqrt{x y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})$
استنتج كتابة ثانية للعدد $7 \sqrt{7} - 3 \sqrt{3}$
قارن بين العددين $11 + \sqrt{30}$ و $\frac{6 \sqrt{6} - 5 \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$

- انشر : ${(1 - 2 x)}^{3}$
- بين أن : $| {(1 - 2 x)}^{3} - (1 - 6 x) | = x^{2} | 12 - 8 x |$
- بين أن $| 12 - 8 x | \leq 16$
- استنتج أن : $| {(1 - 2 x)}^{3} - (1 - 6 x) | \leq 16 x^{2}$
اعط قيمة مقربة للعدد ${(0,9998)}^{3}$ بالدقة $16 \times 10^{- 8}$

لكل $x$ من $ℝ - {- 1}$ :
$1 - x + \frac{x^{2}}{1 + x} = \frac{1 - x^{2} + x^{2}}{1 + x}$ اي $1 - x + \frac{x^{2}}{1 + x} = \frac{1}{1 + x}$
- تذكير
  $x, a, b$ أعدادا حقيقية حيث $a \leq x \leq b$ و $a \times b 〈 0$ .
  لدينا $0 \leq x^{2} \leq {(\sup (| a |; | b |))}^{2}$
  بما أن $- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ فإن $0 \leq x^{2} \leq \frac{1}{4}$
- تذكير
  aوbعددان حقيقيان غير منعدمين و من نفس الإشارة.
  إذا كان $a \leq b$ فإن $\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}$
  بما أن $- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ فإن $\frac{1}{2} \leq 1 + x \leq \frac{3}{2}$ ومنه فإن $\frac{2}{3} \leq \frac{1}{1 + x} \leq 2$
- بما أن $x^{2} \in ℝ^{+}$ و $0 〈 \frac{2}{3} \leq \frac{1}{1 + x} \leq 2$ فإن $0 \leq \frac{x^{2}}{1 + x} \leq 2 x^{2}$
لكل $x$ من المجال $[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ :
$0 \leq \frac{x^{2}}{1 + x} \leq 2 x^{2}$ تكافئ $(1 - x) \leq \frac{x^{2}}{1 + x} + (1 - x) \leq (1 - x) + 2 x^{2}$ اي $(1 - x) \leq \frac{1}{1 + x} \leq (1 - x) + 2 x^{2}$
و هذا يعني أن $(1 - x)$ قيمة مقربة بتفريط للعدد $\frac{1}{1 + x}$ الى $2 x^{2}$
$\frac{1}{1.004} = \frac{1}{1 + 0.004}$ مع $0.004 \in [\frac{- 1}{2}; \frac{1}{2}]$
اذن $(1 - 0,004)$ قيمة مقربة بتفريط للعدد $\frac{1}{1,004}$ الى $2 \times {(0,004)}^{2}$ اي الى $32 \times 10^{- 6}$

aوbعددين حقيقيين موجبين قطعا و مختلفين

$\frac{1}{a b} - \frac{1}{(a^{2} + b^{2})} = \frac{(a^{2} + b^{2}) - 2 a b}{a b (a^{2} + b^{2})} = \frac{{(a - b)}^{2}}{a b (a^{2} + b^{2})}$
$\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a^{2} b^{2}} - \frac{1}{a b} = \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{2 a^{2} b^{2}} = \frac{{(a - b)}^{2}}{2 a^{2} b^{2}}$
بما أن $\frac{{(a - b)}^{2}}{a b (a^{2} + b^{2})} 〉 0$ فإن $\frac{1}{a b} - \frac{2}{a^{2} + b^{2}} 〉 0$ اي $(1) : \frac{1}{a b} 〉 \frac{2}{a^{2} + b^{2}}$
بما أن $\frac{{(a - b)}^{2}}{2 a^{2} b^{2}} 〉 0$ فإن $\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a^{2} b^{2}} - \frac{1}{a b} 〉 0$ اي $(2) : \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a^{2} b^{2}} 〉 \frac{1}{a b}$
من1و2نستنتج أن $\frac{2}{a^{2} + b^{2}} 〈 \frac{1}{a b} 〈 \frac{a^{2} + b^{2}}{2 a^{2} b^{2}}$
نضع $a = \sqrt{2}; b = \sqrt{3}; \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{1}{a b}$

لكل

x

من

ℝ_{+}^{*}

لدينا :

إذن

A ≻ 1

$= (1 + \frac{x}{2}) - 1$	$B - 1$
$= \frac{x}{2} ≻ 0$

إذن

B ≻ 1

نعلم أن

A ≻ 1

إذن

\frac{x^{2}}{8} + A ≻ 1

أي

C ≻ 1

أي

A^{2} ≺ B^{2}

و بما أن

A

B

موجبين فإن

A ≺ B

إذن

\sqrt{1 + x} ≺ 1 + \frac{x}{2}

نعلم أن $A ≻ 1$ أي $\sqrt{1 + x} ≻ 1$ و عليه فإن $\sqrt{1 + x} - 1 + \frac{x^{2}}{16} ≻ 0$ و كذلك $\frac{x^{2}}{4} (\sqrt{1 + x} + \frac{x^{2}}{16} - 1) ≻ 0$ ( لأن $\frac{x^{2}}{4} ≻ 0$ ) و بالتالي فإن $C^{2} ≻ B^{2}$ ، و بما أن $B$ و $C$ موجبين فإن $C ≻ B$
تبعا للسؤال السابق لدينا $C ≻ B$ أي $\frac{x^{2}}{8} + \sqrt{1 + x} ≻ 1 + \frac{x}{2}$ أي $\sqrt{1 + x} ≻ 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8}$
لكل $x$ من $ℝ_{+}^{*}$ لدينا $1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} ≺ \sqrt{1 + x} ≺ 1 + \frac{x}{2}$ و من أجل $x = {2.10}^{- 4}$ نحصل على $1 + 10^{- 4} - \frac{{({2.10}^{- 4})}^{2}}{8} ≺ \sqrt{1,0002} ≺ 1 + 10^{- 4}$ أي $1,0001 - {5.10}^{- 9} ≺ \sqrt{1,0002} ≺ 1,0001$ .
ملاحظة

$x, b, a$ أعداد حقيقية حيث $a \leq x \leq b$
$\frac{a + b}{2}$ قيمة مقربة للعدد $x$ بالدقة $\frac{b - a}{2}$ .
بما أن $1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} ≺ \sqrt{1 + x} ≺ 1 + \frac{x}{2}$ فإن $1 + \frac{x}{2} - 2 x^{2} ≺ \sqrt{1 + x} ≺ 1 + \frac{x}{2}$ إذن $\frac{(1 + \frac{x}{2}) + (1 + \frac{x}{2} - 2 x^{2})}{2} = 1 + \frac{x}{2} - x^{2}$ قيمة مقربة للعدد $\sqrt{1 + x}$ بالدقة $\frac{(1 + \frac{x}{2}) - (1 + \frac{x}{2} - 2 x^{2})}{2} = x^{2}$
من أجل $x = 10^{- 7}$ نحصل على النتيجة المطلوبة.