مدارس ، ثانويتي على الأنترنيت

الحساب المثلثي

---

التمرين 1

نعتبر دائرة مثلثية مرتبطة بمعلم متعامد ممنطم مباشر $\left(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ و M نقطة حرة على الدائرة و تتحرك في الاتجاه المعاكس لدوران عقربي الساعة.

1. باستعمال الجدول أسفله ، مثل النقط التالية على الدائرة المثلثية.

   النقطة	M1	M2	M3	M4	M5	M6	M7	M8	M9	M10	M11
   قياس الزاوية $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}\right)$	$-\pi$	$-\frac{3\pi }{4}$	$-\frac{\pi }{2}$	$-\frac{\pi }{4}$	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$

البداية

الجواب

---

التمرين 2

1. استخرج من بين الأفاصيل المنحنية التالية، الأفاصيل المنحنية لنفس النقطة على دائرة مثلثية.
   $\frac{37\pi }{3};-\frac{54\pi }{12};5\pi ;\frac{352\pi }{11};\frac{49\pi }{3};\frac{9\pi }{6};\pi$
2. حدد الافاصيل المنحنية الرئيسية لنقط السؤال الأول
3. احسب ما يلي معللا أجوبتك.
   $\begin{array}{l}\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right);\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\\ \sin \left(\frac{5\pi }{3}\right);\sin \left(\frac{4\pi }{3}\right)\end{array}$

البداية

الجواب

---

التمرين 3

1. احسب $\cos \alpha$ علما أن $\sin \alpha =\mathrm{0,3}$ و أن $0\langle \alpha \langle \frac{\pi }{2}$
2. احسب $\sin \alpha$ علما أن $\cos \alpha =-\mathrm{0,6}$ و أن $\alpha \in \left[\mathrm{0,2}\pi \right]$
3. احسب $\cos \alpha$ و $\sin \alpha$ علما أن $\tan \alpha =2$ و أن $\alpha \in \left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right[$
4. احسب $\cos \alpha$ و $\tan \alpha$ علما أن $\sin \alpha =\frac{1}{4}$ و أن $\frac{\pi }{2}\langle \alpha \langle \pi$
5. احسب $\sin \alpha$ و $\tan \alpha$ علما ان $\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{3}}$ و أن $\frac{3\pi }{2}\langle \alpha \le 2\pi$
6. احسب $\sin \alpha$ و $\cos \alpha$ علما أن $\tan \alpha =\sqrt{3}-\sqrt{2}$ و أن $3\pi \le \alpha \langle \frac{7\pi }{2}$

البداية

الجواب

---

التمرين 4

1. بين أن :
   
   $\frac{1}{{\tan }^{2}x}-{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x\times \frac{1}{{\tan }^{2}x}$
   
   $\tan x+\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$
   
   ${\tan }^{2}x+\frac{1}{{\tan }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x\times {\cos }^{2}x}-2$
   
   ${\tan }^{2}x\times {\sin }^2={\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x$


2. ليكن x عددا حقيقيا ينتمي الى المجال $\left[0;\pi \right]$ . بسط ما يلي :
   
   ${\cos }^{6}x+{\sin }^{6}x+3{\sin }^2\times {\cos }^{2}x$
   
   ${\sin }^{5}x+{\sin }^{3}x\times {\cos }^{2}x$
   
   ${\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x-1$
   
   ${\left(1+\sin x+\cos x\right)}^2-2\left(1+\sin x\right)\left(1+\cos x\right)$

البداية

الجواب

---

التمرين 5

احسب المجاميع التالية :

$A=\cos \frac{\pi }{5}+\cos \frac{2\pi }{5}+\cos \frac{3\pi }{5}+\cos \frac{4\pi }{5}$

$B=\cos \frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{3}+\cos \frac{2\pi }{3}+{\cos }^2\frac{2\pi }{3}$

$C={\cos }^2\left({17}^{°}\right)+{\sin }^2\left({13}^{°}\right)+{\cos }^2\left({73}^{°}\right)+{\sin }^2\left({77}^{°}\right)$

$D={\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}+{\cos }^2\frac{5\pi }{8}+{\cos }^2\frac{7\pi }{8}$

$E={\sin }^2\frac{\pi }{12}+{\sin }^2\frac{3\pi }{12}+{\sin }^2\frac{5\pi }{12}+{\cos }^2\frac{7\pi }{12}+{\cos }^2\frac{9\pi }{12}+{\cos }^2\frac{11\pi }{12}$

البداية

الجواب

---

التمرين 6

ليكن ABC مثتثا بحيث : $2{\left(BC\right)}^2={\left(AC\right)}^2+{\left(AB\right)}^2$
بين أن : ${\sin }^2\left(\stackrel{\wedge }{B}\right)+{\sin }^2\left(\stackrel{\wedge }{C}\right)=2{\sin }^2\left(\stackrel{\wedge }{A}\right)$

البداية

الجواب

---

جواب التمرين 1

التمرين

---

جواب التمرين 2

تذكير
$\left(x,y\right)\in {ℝ}^2$
x و y أفصولان منحيان لنفس النقطة على الدائرة المثلثية يكافئ ، يوجد عدد صحيح نسبي k حيث $x-y=k\left(2\pi \right)$
1. بما ان : $5\pi -\pi =2\left(2\pi \right)$ أي $5\pi =\pi +2\left(2\pi \right)$ فإن $5\pi \equiv \pi \left[2\pi \right]$ بمعنى آخر $\pi$ و $5\pi$ متكافئان بتردد $2\pi$
تذكير
$\left(x,y\right)\in {ℝ}^2$
$x\equiv y\left[2\pi \right]$ تكافئ يوجد عدد صعحيح نسبي k حيث $x=y+k\left(2\pi \right)$
و نقرأ x و y متكافئان بتردد $2\pi$
2. ليكنx الأفصول المنحني الرئيسي الذي يحقق : $x\equiv \frac{49\pi }{3}\left[2\pi \right]$ أي يوجد عدد صحيح نسبي k حيث $-\pi \prec \frac{49\pi }{3}+k\left(2\pi \right)\le \pi$.
   لكل عدد صحيح نسبي k :

   $-\pi \prec \frac{49\pi }{3}+k\left(2\pi \right)\le \pi$	يكافئ	$-1\prec \frac{49}{3}+2k\le 1$
   	يكافئ	$-\frac{52}{6}\prec k\le -\frac{46}{6}$

   أي $k=-8$ و منه فإن $x=\frac{49\pi }{3}-8\left(2\pi \right)=\frac{\pi }{3}$.
   لنبحث عن الأفصول المنحني الرئيسي الذي يكافئ $\frac{54\pi }{12}$ بتردد $2\pi$.
   لاحظ أن 48 و 60 من مضاعفات المقام 12 زائد $48\prec 54\prec 60$ كما أن $\frac{48}{12}=4$زوجي و $\frac{60}{12}=5$ فردي
   (نختار الزوجي أي 48)إذن :

   $=\frac{48\pi +6\pi }{12}$	$\frac{54\pi }{12}$
   $=4\pi +\frac{\pi }{2}$
   $=\frac{\pi }{2}+2\left(2\pi \right)$

   أي $\frac{54\pi }{12}\equiv \frac{\pi }{2}\left[2\pi \right]$
النسب المثلثية لعدد حقيقي و لزاوية موجهة





$\begin{array}{l}\left(x\in ℝ\right):\\ \cos (-x)=\cos (x)\\ \sin (-x)=-\sin (x)\\ \tan (-x)=-\tan (x)\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$


$\begin{array}{l}\left(x\in ℝ\right):\\ \cos (\pi -x)=-\cos (x)\\ \sin (\pi -x)=\sin (x)\\ \tan (\pi -x)=-\tan (x)\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$


$\begin{array}{l}x\in ℝ\\ \cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin (x)\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos (x)\\ \tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\frac{1}{\tan (x)}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;x\ne k\pi \right)\end{array}$


$\begin{array}{l}x\in ℝ\\ \cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\sin x\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\\ \tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\frac{1}{\tan (x)}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;x\ne k\pi \right)\end{array}$


$\begin{array}{l}x\in ℝ\\ \cos \left(\pi +x\right)=-\cos \left(-x\right)=-\cos (x)\\ \sin \left(\pi +x\right)=\sin \left(-x\right)=-\sin (x)\\ \tan \left(\pi +x\right)=\tan (x)\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \right)\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\cos \left(\frac{-\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{-\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\end{array}$
   
   لدينا $\frac{5\pi }{3}\equiv -\frac{\pi }{3}\left[2\pi \right]$ إذن $\begin{array}{l}\\ \sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$
   لدينا $\frac{4\pi }{3}\equiv \frac{2\pi }{3}\left[2\pi \right]$ إذن $\begin{array}{l}\\ \sin \left(\frac{4\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

التمرين

---

جواب التمرين 3

1. لكل $\alpha$ من المجال $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ لدينا :
   ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ يكافئ ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ يكافئ $\begin{array}{l}\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}\\ \end{array}$ يكافئ $\begin{array}{l}\cos x=\sqrt{1-{(3\times {10}^{-1})}^2}=\sqrt{1-0.09}=\sqrt{0.91}\\ \end{array}$
   
   لاحظ أن : لكل $\alpha$ من المجال $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ لدينا $0\prec \cos \alpha \prec 1$
2. لكل $\alpha$ من المجال $\left[0;2\pi \right]$ لدينا ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$ أي ${\sin }^2\alpha =1-{\left(-\mathrm{0,6}\right)}^2=1-\mathrm{0,36}=\mathrm{0,64}$ بمعنى آخر $\sin \alpha =\pm \mathrm{0,8}$
   
   
   لاحظ أن :
   لكل $\alpha$ من المجال $\left]0;\pi \right[$ لدينا $0\prec \sin \alpha \le 1$
   لكل $\alpha$ من المجال $\left]\pi ;2\pi \right[$ لدينا $-1\le \sin \alpha \prec 0$
   كما أن : $\sin 0=\sin \pi =\sin 2\pi =0$
3. 
   
   
   لاحظ أنه لكل $\alpha$ من المجال $\left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right[$ لدينا $\begin{array}{l}-1\le \cos \alpha \prec 0\\ -1\prec \sin \alpha \le 0\end{array}$
   
   لكل $\alpha$ من المجال $\left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right[$ لدينا $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ أي

   $=\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }$	${\cos }^2\alpha$
   $=\frac{1}{1+4}$
   $=\frac{1}{5}$

   ومنه فإن $\cos \alpha =-\frac{1}{5}$
   نعلم أن لكل $\alpha$ من المجال $\left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right[$ لدينا $\sin \alpha =\tan \alpha \cos \alpha$ أي $\sin \alpha =2\left(\frac{-1}{5}\right)=\frac{-2}{5}$
4. 
   
   
   لاحظ أن لكل $\alpha$ من المجال $\left]\frac{\pi }{2};\pi \right[$ لدينا $\begin{array}{l}-1\prec \cos \alpha \prec 0\\ 0\prec \sin \alpha \prec 1\end{array}$
   لدينا :

   $=1-{\sin }^2\alpha$	${\cos }^2\alpha$
   $=1-\frac{1}{16}$
   $=\frac{15}{16}$

   اي $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{4}$ اعتمادا على ما سبق نستتج أن :

   $=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$	$\tan \alpha$
   $=\frac{1}{4}\times \frac{-4}{\sqrt{15}}$
   $\frac{-\sqrt{15}}{15}$

التمرين

---

جواب التمرين 4

1. لكل $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ حيث $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ لدينا :

   $=\frac{1-{\tan }^{2}x\times {\cos }^{2}x}{{\tan }^{2}x}$	$\frac{1}{{\tan }^{2}x}-{\cos }^{2}x$
   $=\frac{1-\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\times {\cos }^{2}x}{{\tan }^{2}x}$
   $=\frac{1-{\sin }^{2}x}{{\tan }^{2}x}$
   $=\frac{{\cos }^{2}x}{{\tan }^{2}x}$
   $={\cos }^{2}x\times \frac{1}{{\tan }^{2}x}$

2. لكل $x\in ℝ$ لدينا :

   $={\left({\cos }^{2}x\right)}^3+{\left({\sin }^{2}x\right)}^3+3{\sin }^{2}x\times {\cos }^{2}x$	${\cos }^{6}x+{\sin }^{6}x+3{\sin }^{2}x\times {\cos }^{2}x$
   $=\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{4}x-{\cos }^{2}x\times {\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x\right)$
   $={\cos }^{4}x-{\cos }^{2}x\times {\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x+3{\sin }^{2}x\times {\cos }^{2}x$
   $={\cos }^{4}x+2{\cos }^{2}x\times {\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x$
   $={\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)}^2$
   $=1$

التمرين

---

جواب التمرين 5

$=\cos \frac{\pi }{5}+\cos \frac{2\pi }{5}+\cos \frac{3\pi }{5}+\cos \frac{4\pi }{5}$	$A$
$=\cos \frac{\pi }{5}+\cos \frac{2\pi }{5}+\cos \left(\pi -\frac{2\pi }{5}\right)+\cos \left(\pi -\frac{\pi }{5}\right)$
$=\cos \frac{\pi }{5}+\cos \frac{2\pi }{5}-\cos \frac{2\pi }{5}-\cos \frac{\pi }{5}$
$=0$

التمرين

---

sajid@madariss.fr