الحساب المتحهي

التمرين 1

نضع

\vec{u} = \vec{F R}

\vec{v} = \vec{F E}

ننشئ النقط Gو S وTوHحيث

\vec{F G} = - \vec{v}

و FESR و FGTR و FSHT متوازيات الأضلاع.
حدد متجهات ممثلة لما يلي:

\vec{u} + \vec{v}

\vec{u} - \vec{v}

(\vec{u} + \vec{v}) + (\vec{u} - \vec{v})

البداية
الجواب

التمرين 2

ليكن

A B C

مثلثا و

D

نقطة بحيث

\vec{B D} = 3 \vec{B C}

احسب المتجهة $\vec{A D}$ بدلالة $\vec{A B}$ و $\vec{A C}$ .
- احسب بدلالة $\vec{A B}$ و $\vec{A C}$ المتجهتين $\vec{F E}$ و $\vec{F D}$ .
- استنتج أن النقطFوEوDمستقيمية.

البداية
الجواب

التمرين 3

ليكن ABCD متوازي الأضلاع.
MوNنقطتان بحيث

\vec{D M} = \frac{2}{3} \vec{D C}

\vec{B N} = \frac{3}{2} \vec{B C}

.
اثبت أن النقطAوMوNمستقيمية.

البداية
الجواب

التمرين 4

نعتبر شبه منحرف ABCD بحيث

\vec{D C} = 2 \vec{A B}

وEوFوKمنتصفات القطع

[A C]

[B D]

[C D]

على التوالي.

اثبت أن ABCK و ABKD متوازيا الأضلاع.
بين أنEوFهما منتصفا القطعتين $[B K]$ و $[A K]$ على التوالي.

البداية
الجواب

التمرين 5

ليكنABCمثلثا . نعتبر النقطIوJوKبحيث :
Cمنتصف القطعة

[A I]

\vec{A J} = 2 \vec{J B}

\vec{B K} = \frac{1}{2} \vec{B C}

اثبت أن $\vec{A J} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ثم أنشئ النقطIوJوK.
اثيت لأن $\vec{J K} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ و $\vec{K I} = \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{B C}$ .
استنتج أن النقطIوJوKمستقيمية.

البداية
الجواب

التمرين 6

ليكنABCمثلثا . نعتبر النقطتينMوNبحيث

\vec{B M} = - 2 \vec{C B}

\vec{A N} = 3 \vec{C B}

عبر عن المتجهة $\vec{C M}$ بدلالة المتجهة $\vec{C B}$
بين أن الرباعيANMCمتوازي الأضلاع

البداية
الجواب

التمرين 7

ليكنABCمثلثا وEوFنقطتين بحيثEمنتصف القطعة $[A B]$ وFمنتصف القطعة $[A C]$ . بين ان $\vec{B C} = 2 \vec{E F}$
لتكنMنقطة بحيث $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ بين أنEوFوMنقط مستقيمية و أن $3 \vec{A M} - 2 \vec{M B} - \vec{M C} = \vec{0}$

البداية
الجواب

التمرين 8

ليكنABCمثلثا و لتكنDالنقطة التي تحقق

\vec{D A} + 2 \vec{D B} - \vec{D C} = \vec{0}

اثبت أنه لكل نقطةOمن المستوى لدينا : $\vec{O D} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + 2 \vec{O B} - \vec{O C})$
استنتج أن $\vec{A D} = \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ و $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{C A}$ و $\vec{C D} = \frac{1}{2} (\vec{C A} + 2 \vec{C B})$ ثم انشئ النقطةD.

البداية
الجواب

التمرين 9

ليكنABCمثلثا وMمنتصف القطعة

[B C]

وPوQنقطتين من المستوى حيث

\vec{B M} = \vec{A P}

\vec{P Q} = 2 \vec{P M}

ما هي طبيعة الرباعي ABQM ؟
Iهي نقطة تقاطع المستقيمين $(B M)$ و $(A Q)$ . عبر عن المتجهة $\vec{B C}$ بدلالة المتجهة $\vec{I M}$ .
Hهي نقطة تقاطع المستقيمين $(P M)$ و $(A C)$ . بين انHمنتصف القطعة $[A C]$ .
بين أنIمنتصف القطعة $[A Q]$ ثم استنتج المتجهة $\vec{Q C}$ بدلالة المتجهة $\vec{I H}$

البداية
الجواب

التمرين 10

AوBوCوDوEنقط من المستوى بحيث

\vec{A B} = \frac{1}{3} \vec{C E}

\vec{C D} = 3 \vec{C B}

اثبت أن $\vec{D E}$ و $\vec{A C}$ مستقيميتان .
حدد المتجهة $\vec{C F}$ بدلالة المتجهة $\vec{C E}$ بحيث يكون الرباعي ABFC متوازي الأضلاع .
ليكنOمركز المتوازي الأضلاع ABFC . نعتبر المتجهة $\vec{u} = \vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C} + \vec{E F}$ . اثبت أن $\vec{u} = 12 \vec{B A} + 2 \vec{C B}$

البداية
الجواب

جواب التمرين 1

\vec{u} = \vec{F R}; \vec{v} = \vec{F E}; - \vec{v} = \vec{F G}

\vec{u} + \vec{v} = \vec{F S}

لأن FESR متوازي الأضلاع

\vec{u} - \vec{v} = \vec{F T}

لأن FGTR متوازي الأضلاع

(\vec{u} + \vec{v}) + (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{F H}

لأن FSHT متوازي الأضلاع

التمرين

جواب التمرين 2

$\begin{array}{l} \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} \end{array}$ نطبق علاقة شال
$\begin{array}{l} \vec{A D} = \vec{A B} + 3 \vec{B C} \end{array}$ نعوض $\vec{B D}$ ب $3 \vec{B C}$ .
نستعمل مرة أخرى علاقة شال فنحصل على $\vec{A D} = \vec{A B} + 3 (\vec{B A} + \vec{A C})$ اي $\vec{A D} = - 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C}$
- $\begin{array}{l} \vec{F E} = \vec{F A} + \vec{A E} = - \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} \\ \vec{F D} = \vec{F A} + \vec{A D} = - \frac{12}{5} \vec{A B} + 3 \vec{A C} \end{array}$
- $\vec{F D} = 6 (- \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}) = 6 \vec{F E}$ اذن $\vec{F D}$ و $\vec{F E}$ متجهتان مستقيميتان و منه فإنFوDوEنقط مستقيمية