الدوال العددية

التمرين 1

حدد مجموعة تعريف الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي :

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$	\|	$f (x) = \frac{3 x - 1}{3 x^{2} - 6 x}$	\|	$f (x) = \frac{1}{\| x + 1 \|}$	\|
$f (x) = \frac{5 \| x \| + 1}{\| x \| - 2}$	\|	$f (x) = \frac{2 x - 1}{2 x^{2} - 3 x + 1}$	\|	$\frac{- 2 x + 1}{5 + \| x \|}$	\|
$\sqrt{- 4 x^{2} - 2 x + 6}$	\|	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 5 x + 6}}$	\|	$\frac{1}{x \| x \| + 1}$	\|
${\begin{cases} f (x) = \sqrt{x - 1}; x \geq 2 \\ f (x) = \frac{1}{x}; x ≺ 2 \end{cases}$	\|	$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$	\|	$f (x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$	\|

البداية

الجواب

التمرين 2

قارن في كل حالة من الحالات التالية الدالتين العدديتين f و g للمتغير الحقيقي x .

$f (x) = 3 x - 4$ و $g (x) = \frac{3 x^{2} - 10 x + 8}{x - 2}$
$f (x) = \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$ و $g (x) = 1 - x$
$f (x) = \sqrt{\frac{2 x - 1}{x + 1}}$ و $g (x) = \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{x + 1}}$

البداية

الجواب

التمرين 3

مثل مبيانيا الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x في الحالات التالية :

$f (x) = \| x \| - 2$	\|	$f (x) = \| x - 2 \|$	\|	$f (x) = \| x \| - \| x - 1 \| - 2$
$f (x) = \| x \| + 2 x$	\|	$f (x) = \| x - 1 \| - 3 x + 1$	\|	$f (x) = \| x - 1 \| - \| x + 1 \|$
$f (x) = \frac{3}{2} x$	\|	${\begin{cases} f (x) = x - 2; x \leq 1 \\ f (x) = - x ≺ 1 \end{cases}$	\|	${\begin{cases} f (x) = \frac{1}{2} x + 1 \\ f (x) = - 2 x + 2 \end{cases}$

البداية

الجواب

التمرين 4

نعتبر الدالة العددية g للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي :

g (x) = | x + 3 | + | x - 3 | - | x |

بين أن الدالة g زوجية.
اكتب $g (x)$ بدون استعمال القيمة المطلقة .

البداية

الجواب

التمرين 5

نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي: $f (x) = x^{2} - 4 x + 2$
ادرس رتابة f على كل من المجالين $] - \infty; 2]$ و $[2; + \infty [$
نعتبر الدالة العددية h للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي: $h (x) = x^{3} - x$
ادرس رتابة الدالة h على المجالين $[\frac{\sqrt{3}}{3}; + \infty [$ و $] - \infty; - \frac{\sqrt{3}}{3}]$

البداية

الجواب

التمرين 6

نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي :

f (x) = 3 x^{2} - 6 x + 5

حدد حيز تعريف الدالة f.
اكتب $f (x)$ على شكلها القانوني.
بوضعك $X = x - 1$ و $Y = y - 2$ اثبت أن منحنى الدالة f شلجما محددا عناصره المميزة.
ضع جدول تغيرات الدالة f.
انشئ منحنى الدالة f

(O, \vec{i}, \vec{j})

البداية

الجواب

التمرين 7

نعتبر الدالة العددية hللمتعير الحقيقي x المعرفة بما يلي :

h (x) = \frac{2 x - 3}{x + 3}

حدد مجموعة تعريف الدالة h.
أثبت أن لكل x من مجموعة تعريف الدالة h لدينا : $h (x) = 2 - \frac{9}{x + 3}$
بوضعك $Y = y - 2$ و $X = x + 3$ مع $y = f (x)$

ضع جدول تغيرات الدالة h.
انشئ منحنى الدالة h

(O, \vec{i}, \vec{j})

البداية

الجواب

التمرين 8

نعتبر الدالتين العدديتين f و g المعرفتين بما يلي :

f (x) = {(x + 1)}^{2} + a

g (x) = b - \frac{2}{x + 1}

حيث a و b عددان حقيقيان.

حدد قيمة a لكي تكون النقطة $S (- 1; - 1)$ رأس الشلجم $(C_{f})$
حدد قيمة b لكي تكون النقطة $A (- 1; 2)$ مركز الهدلول $(C_{g})$
نفترض أن f(x)= x 2 +2x و g(x)= 2x x+1
- حدد زوج احداثيتي نقطتي تقاطع $(C_{f})$ و $(C_{g})$
- انشئ في معلم متعامد ممنظم المنحنيين $(C_{f})$ و $(C_{g})$
- حل مبيانيا في $ℝ$ المتراجحة $f (x) \geq g (x)$
- تحقق حسابيا من مجموعة الحلول المحصل عليها.

البداية

الجواب

جواب التمرين 1

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x.
مجموعة تعريف الدالة f هي مجموعة الأعداد x التي لها صورة بالدالة f.

f (x) = \frac{2 x - 1}{2 x^{2} - 3 x + 1}

$= {x \in ℝ / f (x) \in ℝ}$	$D_{f}$
$= {x \in ℝ / 2 x^{2} - 3 x + 1 \neq 0}$
$= ℝ - {x \in ℝ / 2 x^{2} - 3 x + 1 = 0}$

لنحل في المجموعة

ℝ

المعادلة

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

. هنا لحساب المميز و الحلول.
لدينا

x_{2} = \frac{1}{2}; x_{1} = 1; Δ = 1

إذن

D_{f} = ℝ - {\frac{1}{2}; 1}

أي

D_{f} =] - \infty; \frac{1}{2} [\cup] \frac{1}{2}; 1 [\cup] 1; + \infty [

f (x) = \sqrt{- 4 x^{2} - 2 x + 6}

D_{f} = {x \in ℝ / - 4 x^{2} - 2 x + 6 \geq 0}

لندرس إشارة الثلاثية

- 4 x^{2} - 2 x + 6

. هنا لحساب المميز و الجذور.
لدينا

x_{2} = - \frac{3}{2}; x_{1} = 1; Δ = 100

و عليه فإن جدول الإشارة كالتالي:

إذن :

D_{f} = [- \frac{3}{2}; 1]

التمرين

جواب التمرين 2

$D_{f} = ℝ; D_{g} = ℝ - {2}$
بما أن $D_{f} \neq D_{g}$ فإن $f \neq g$

D_{f} = D_{g} = ℝ

، لكن لكل

x ≻ 1

$= \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$	$f (x)$
$= \| 1 - x \|$
$= x - 1$
$\neq g (x)$

إذن

f \neq g

التمرين

جواب التمرين 3

f : x \mapsto | x | - 2

الدالة

f : x \mapsto | x | - 2

تآلفية بمجالات أي :

{\begin{cases} f (x) = x - 2; (x \geq 0) \\ f (x) = - x - 2; (x \leq 0) \end{cases}

f : x \mapsto | x | - | x - 1 | - 2

لكل x من

ℝ

لدينا :

إذن f دالة تآلفيية بمجالات أي :

{\begin{cases} f (x) = - 2 x + 1; (x \leq 0) \\ f (x) = 1; (0 \leq x \leq 1) \\ f (x) = 2 x - 1; (x \geq 1) \end{cases}

التمرين

جواب التمرين 4

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x، و

D_{f}

مجموعة تعريفها حيث لكل x من

D_{f}

لدينا

- x \in D_{f}

اذا كان لكل x من $D_{f}$ ، $f (- x) = f (x)$ فإن f دالة زوجية.
اذا كان لكل x من $D_{f}$ ، $f (- x) = - f (x)$ فإن f دالة فردية

التمرين

جواب التمرين 5

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x و

D_{f}

مجموعة تعريغها.

العدد $\frac{f (x) - f (y)}{x - y}$ حيث x و y عددين من $D_{f}$ مختلفين يسمى معدل تغير الدالة fبين العددين x و y.
ليكن I مجال ضمن $D_{f}$ .
اذا كان لكل x و y ، $\frac{f (x) - f (y)}{x - y} ≻ 0$ ، $(\frac{f (x) - f (y)}{x - y} \geq 0)$ فإن f دالة تزايدية قطعا(تزايدة)على المجال I.
ليكن I مجال ضمن $D_{f}$ .
اذا كان لكل x و y ، $\frac{f (x) - f (y)}{x - y} ≺ 0$ ، $(\frac{f (x) - f (y)}{x - y} \leq 0)$ فإن f دالة تناقصية قطعا(تناقصية)على المجال I.

f : x \mapsto x^{2} - 4 x + 2

ليكن x و y عنصرين من

ℝ

مختلفين ، لنحسب معدل تغير الدالة f بينهما :

$= \frac{(x^{2} - 4 x + 2) - (y^{2} - 4 y + 2)}{x - y}$	$\frac{f (x) - f (y)}{x - y}$
$= \frac{(x^{2} - y^{2}) - 4 (x - y)}{x - y}$
$= \frac{(x - y) (x + y - 4)}{x - y}$
$= x + y - 4$

على المجال $[2; + \infty [$ لدينا :
$x \geq 2$ و $y \geq 2$ إذن $x + y \geq 4$ . و بما أن $x \neq y$ فإن $x + y ≻ 4$ أي $x + y - 4 ≻ 0$
خلاصة: بما أن لكل x و y من المجال $[2; + \infty [$ ، $\frac{f (x) - f (y)}{x - y} = x + y - 4 ≻ 0$ فإن الدالة f تزايدية قطعا على المجال $[2; + \infty [$ .
بالمثل نثبت أن الدالة f تناقصية قطعا على المجال $] - \infty; 2]$

التمرين

جواب التمرين 6

التمرين

جواب التمرين 7

التمرين

sajid@madariss.fr

$f (x) = \| x \| - 2$	\|	$f (x) = \| x - 2 \|$	\|	$f (x) = \| x \| - \| x - 1 \| - 2$
$f (x) = \| x \| + 2 x$	\|	$f (x) = \| x - 1 \| - 3 x + 1$	\|	$f (x) = \| x - 1 \| - \| x + 1 \|$
$f (x) = \frac{3}{2} x$	\|	${\begin{cases} f (x) = x - 2; x \leq 1 \\ f (x) = - x ≺ 1 \end{cases}$	\|	${\begin{cases} f (x) = \frac{1}{2} x + 1 \\ f (x) = - 2 x + 2 \end{cases}$