الجداء السلمي

---

التمرين 1

ليكن ABC مثلثا بحيث $AB=1$ و $AC=3$ و $\widehat{BAC}=\frac{\pi }{3}$

1. احسب $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ و $BC$
2. لتكن D النقطة التي تحقق $\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
   • بين أن المثلث ABD قائم الزاوية في B
   • احسب المربع السلمي ${\overrightarrow{BD}}^2$ ثم استنتج أن $BD=\frac{\sqrt{3}}{2}$

البداية

الجواب

---

التمرين 2

ليكن ABC مثلثا بحيث $AB=1$ و $AC=2$ و $\widehat{BAC}=\frac{\pi }{3}$

1. • بين أن $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1$ ثم احسب $BC$
   • استنتج أن المثلث ABC قائم الزاوية في B
2. E و F نقطتان تنتميان إلى نصفي المستقيم $\left[BA\right)$ و $\left[BC\right)$ على التوالي بحيث $BF=AB$ و $BC=BE$
   • أنشئ الشكل
   • احسب $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{EF}$ و $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{EF}$
   • ليكن I منتصف القطعة $\left[AC\right]$ . بين أن $\left(BI\right)\perp \left(EF\right)$

البداية

الجواب

---

التمرين 3

ABCDمربع ضلعه a .ليكن I منتصف $\left[AB\right]$ و J منتصف $\left[AD\right]$

1. • احسب الجداء السلمي $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{CD}$
   • احسب بدلالة a ما يلي : $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}$ و $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$
2. عبر عن المتجهة $\overrightarrow{DI}$ بدلالة $\overrightarrow{DA}$ و $\overrightarrow{AB}$ ثم عبر عن $\overrightarrow{CJ}$ بدلالة $\overrightarrow{CD}$ و $\overrightarrow{DA}$
3. بين أن $\left(CJ\right)\perp \left(DI\right)$

البداية

الجواب

---

التمرين 4

ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث $AB=AC=2$ و I منتصف $\left[AB\right]$ و J منتصف $\left[AC\right]$

1. • تحقق أن $\overrightarrow{CI}.\overrightarrow{CA}={\left(\overrightarrow{CA}\right)}^2$
   • بين أن $\cos \left(\widehat{ACI}\right)=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
2. لتكن K منتصف $\left[CI\right]$
   • بين أن $\overrightarrow{JK}.\overrightarrow{JA}=0$ و أن $\overrightarrow{JK}.\overrightarrow{AB}=1$
   • بين أن $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{JB}=0$

البداية

الجواب

---

التمرين 5

ليكن ABC مثلثا بحيث $AB=4$ و $AC=6$ و $BC=2\sqrt{7}$

1. بين أن قياس الزاوية $\left[\widehat{BAC}\right]$ بالرديان هو $\frac{\pi }{8}$
2. احسب $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ثم $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$
3. احسب $AI$ حيث I منتصف القطعة $\left[BC\right]$

البداية

الجواب

---

التمرين 6

ABCD متوازي الأضلاع بحيث $AB=6$ و $AD=4$ و $\widehat{A}={60}^{°}$
لتكن $A^{\text{'}}$ و $C^{\text{'}}$ على التوالي المسقطين العموديين ل A و C على $\left(BD\right)$

1. احسب $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$
2. باستعمال مبرهنة الكاشي بين أن $BD=2\sqrt{7}$
3. • بين أن $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}={\overrightarrow{AD}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2$
     ( يمكن وضع $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ )
   • تحقق أن $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overline{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\times \overline{BD}$
   • استنتج أن $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\frac{10\sqrt{7}}{7}$

البداية

الجواب

---

التمرين 7

ABC مثلث بحيث $AB=3$ و $AC=2$ و $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=3$

1. • احسب $\cos \widehat{BAC}$ و استنتج قياس الزاوية $\widehat{BAC}$
   • بين أن $BC=\sqrt{7}$
2. لتكن النقطة D بحيث $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
   • احسب الجداء السلمي $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ و استنتج طبيعة المثلث ABD
   • بين أن $\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{CA}$ و استنتج المسافة $BD$

البداية

الجواب

---

التمرين 8

البداية

الجواب

---