الحساب المثلثي 2

التمرين 1

حل في

ℝ

المعادلات التالي:

$\cos x = \frac{1}{2}$ و $\sin x = \frac{1}{2}$
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos x = \frac{3}{2}$ و $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

البداية

الجواب

التمرين 2

حل في المجال

[0; 2 π]

المعادلات :

$6 \cos x + 2 = 5$
$1 + \sqrt{2} \cos 2 x = 0$

البداية

الجواب

التمرين 3

حل في

ℝ

المعادلتين :

$\cos^{2} x - \frac{3}{2} \cos x + \frac{1}{2} = 0$
$6 \sin x \cos x + 6 \cos x = 0$

البداية

الجواب

التمرين 4

حل في

ℝ

ثم في المجال

[- 5 π; - 2 π]

المعادلات التالية :

$2 \cos x + \sqrt{3} = 0$
$4 \cos^{2} x - 1 = 0$
$3 - 4 \cos^{2} x = 0$
$\tan x = 1$
$\tan x = - 1$
$3 \tan^{2} x - 1 = 0$

البداية

الجواب

التمرين 5

حل في

ℝ

ثم في المجال

[0; 2 π [

المعادلات التالية :

$\sin (x - π) = - \sin (x + \frac{π}{3})$
$\sin (3 x) = \sin (5 x)$
$\sin x = \cos x$
$\cos^{2} x + 2 \cos x = 0$
$2 \cos^{2} x + \cos x - 3 = 0$
$2 \cos^{2} x - 3 \cos x + 1 = 0$
$\sin^{2} x - \cos^{2} x = 0$

البداية

الجواب

التمرين 6

حل في المجال

] - π; π]

المتراجحات التالية :

$\sin x ≻ \frac{1}{2}$ و $\cos \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\tan x ≻ \sqrt{3}$
$\cos^{2} x - \sin^{2} x + \cos + 1 ≻ 0$
$4 \sin x + \cos^{2} - 5 \geq 0$
$\sin^{2} 2 x + 3 \cos 2 x - 1 \leq 0$
$\tan^{2} x + (\sqrt{3} - 1) \tan x - \sqrt{3} ≺ 0$

البداية

الجواب

جواب التمرين 1

تذكير

\cos x = \cos α

تكافئ

x = α + k (2 π)

أو

x = - α + k (2 π)

حيث

k \in ℤ

أي

S = {α + k (2 π) / k \in ℤ} \cup {- α + k (2 π) / k \in ℤ}

تذكير

\sin x = \sin α

تكافئ

x = α + k (2 π)

أو

x = (π - α) + k (2 π)

حيث

k \in ℤ

أي

S = {α + k (2 π) / k \in ℤ} \cup {(π - α) + k (2 π) / k \in ℤ}

$\cos x = \frac{1}{2}$ تكافئ $\cos x = \cos \frac{π}{3}$ تكافئ $x = \frac{π}{3} + k (2 π)$ أو $x = - \frac{π}{3} + k (2 π)$ مع $k \in ℤ$ و عليه فإن : $S = {\frac{π}{3} + k (2 π) / k \in ℤ} \cup {- \frac{π}{3} + k (2 π) / k \in ℤ}$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ تكافئ $x = \frac{π}{4} + k (2 π)$ أو $x = \frac{3 π}{4} + k (2 π)$ حيث $k \in ℤ$ و عليه فإن : $S = {\frac{π}{4} + k (2 π) / k \in ℤ} \cup {\frac{3 π}{4} + k (2 π) / k \in ℤ}$
$\cos x = \frac{3}{2}$ . هنا $S = {}$ لان $\frac{3}{2} ≻ 1$

التمرين

جواب التمرين 2

$1 + \sqrt{2} \cos 2 x = 0$	تكافئ $\cos 2 x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
	تكافئ $\cos 2 x = - \cos \frac{π}{4}$
	تكافئ $\cos 2 x = \cos (π - \frac{π}{4})$
	تكافئ $\cos 2 x = \cos \frac{3 π}{4}$
	تكافئ $2 x = \frac{3 π}{4} + k (2 π)$ أو $2 x = - \frac{3 π}{4} + k (2 π)$ حيث $k \in ℤ$
	تكافئ $x = \frac{3 π}{8} + k π$ أو $x = - \frac{3 π}{8} + k π$ حيث $k \in ℤ$

لنبحث عن قيم k حيث

0 \leq \frac{3 π}{8} + k π \leq 2 π

$0 \leq \frac{3 π}{8} + k π \leq 2 π$	تكافئ	$0 \leq \frac{3}{8} + k \leq 2$
	تكافئ	$- \frac{3}{8} \leq k \leq \frac{13}{8}$

ومنه فإن

k \in {0; 1}

أي

x = \frac{3 π}{8}

أو

x = \frac{11 π}{8}

بنفس الطريقة نبحث عن قيم k حيث

0 \leq - \frac{3 π}{8} + k π \leq 2 π

نجد

x = \frac{5 π}{8}

أو

x = \frac{13 π}{8}

خلاصة:

S = {\frac{3 π}{8}; \frac{11 π}{8}; \frac{5 π}{8}; \frac{13 π}{8}}

التمرين

جواب التمرين 3

تذكير

\cos x = 1

x = k (2 π) \Leftrightarrow

(k \in ℤ)

تذكير

\cos x = - 1

x = π + k (2 π) \Leftrightarrow

(k \in ℤ)

تذكير

\cos x = 0

x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow

(k \in ℤ)

تذكير

\sin x = 1

x = \frac{π}{2} + k (2 π) \Leftrightarrow

(k \in ℤ)

تذكير

\sin x = - 1

x = - \frac{π}{2} + k (2 π) \Leftrightarrow

(k \in ℤ)

تذكير

\sin x = 0

x = k π \Leftrightarrow

(k \in ℤ)

(E) : \cos^{2} x - \frac{3}{2} \cos x + \frac{1}{2} = 0

نعتبر ثلاثية الحدود

t^{2} - \frac{3}{2} t + \frac{1}{2}

التي مميزها هو :

Δ = \frac{1}{4}

و جذريها هما :

t_{2} = \frac{1}{2}; t_{1} = 1

. نعلم أن تعميلها هو على الشكل التالي :

t^{2} - \frac{3}{2} t + \frac{1}{2} = (t - \frac{1}{2}) (t - 1)

و بوضعنا التغيير ،

t = \cos x

نحصل على

\cos^{2} x - \frac{3}{2} \cos x + \frac{1}{2} = (\cos x - 1) (\cos x - \frac{1}{2})

$(\cos x - \frac{1}{2}) (\cos x - 1) = 0$	$\Leftrightarrow$	$\cos^{2} x - \frac{3}{2} \cos x + \frac{1}{2} = 0$
$\cos x = \frac{1}{2}$ أو $\cos x = 1$	$\Leftrightarrow$
$\cos x = \cos \frac{π}{3}$ أو $\cos x = \cos 0$	$\Leftrightarrow$

وهذه معادلات مثلثية أساسية يمكنك البحث عن حلولها بدون مساعدة.

$6 \sin x \cos x + 6 \cos x = 0$	$6 \cos x (\sin x - 1) = 0 \Leftrightarrow$
	$\cos x = 0 \Leftrightarrow$ أو $\sin x = 1$
	$x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow$ أو $(k \in ℤ) x = \frac{π}{2} + k (2 π)$
	$(k \in ℤ) x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow$

و عليه فإن :

S = {\frac{π}{2} + k π / k \in ℤ}

الرمز

\Leftrightarrow

يعني يكافئ

التمرين

جواب التمرين 4

ارشاد
لكل x يخالف

(k \in ℤ) \frac{π}{2} + k π

لدينا

\tan x = \tan α

(k \in ℤ) x = α + k π \Leftrightarrow

(E) : 3 \tan^{2} x - 1 = 0

لتكن D مجموعة تعريف المعادلة

(E)

، لدينا :

D = {x \in ℝ / x \neq \frac{π}{2} + k π, (k \in ℤ)}

.
لكل x من D :

$3 \tan^{2} x - 1 = 0$	$(\tan x - \frac{\sqrt{3}}{3}) (\tan x + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 0 \Leftrightarrow$
	$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow$ أو $\tan x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$
	$\tan x = \tan \frac{π}{6} \Leftrightarrow$ أو $\tan x = \tan (π - \frac{π}{6})$
	$\tan x = \tan \frac{π}{6} \Leftrightarrow$ أو $\tan x = \tan \frac{5 π}{6}$

أتمم...offfffffffffafafaftitititi

الرمز

\Leftrightarrow

يعني يكافئ

التمرين

جواب التمرين 6

(x \in [- π; π]) \sin x ≻ \frac{1}{2}

نحل أولا المعادلة

\sin x = \frac{1}{2}

في المجال

[- π; π]

$\sin x = \frac{1}{2}$	يكافئ	$\sin x = \sin \frac{π}{6}$
	يكافئ	$x = \frac{π}{6} + k (2 π)$ أو $(k \in ℤ) x = \frac{5 π}{6} + k (2 π)$

إذن حلول المعادلة

\sin x = \frac{1}{2}

في المجال

[- π; π]

هي .

S = {\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}}

لنمثل حلول المعادلة

\sin x = \frac{1}{2}

على الدائرة المثلثية.

لنقارن

\sin x

بالعدد

\frac{1}{2}

على المجال

[- π; π]

لكل x من $[- π; \frac{π}{6} [\cup] \frac{5 π}{6}; π]$ لدينا $\sin x ≺ \frac{1}{2}$
لكل x من $] \frac{π}{6}; \frac{5 π}{6} [$ لدينا $\sin x ≻ \frac{1}{2}$
$\sin \frac{π}{6} = \sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$

و أخيرا نلخص هذه الدراسة في جدول فنحصل على

إذن :

S =] \frac{π}{6}; \frac{5 π}{6} [

التمرين

sajid@madariss.fr